Problema 44.

Calcular o comprimento do raio focal do ponto M da parábola, dada por
y^{2}=20 x
sabendo-se que a abscissa do ponto M é igual a 7 .

Passo 1

O enunciado nos dá a parábola
y^{2}=20x
e informa que a abscissa do ponto M é x_{M}=7. A pergunta é: calcular o comprimento do raio focal do ponto M da parábola (isto é, a distância entre M e o foco).

Passo 2

Identificar o parâmetro da parábola na forma padrão. A forma padrão da parábola com eixo horizontal é
y^{2}=4p x,
onde p é a distância do vértice ao foco. Comparando com y^{2}=20x obtemos
4p=20\quad\Rightarrow\quad p=5.
Portanto o foco tem coordenadas F=(p,0)=(5,0).

Passo 3

Determinar as coordenadas possíveis do ponto M. Como x_{M}=7 e M pertence à parábola, temos
y_{M}^{2}=20\cdot 7=140,
ou seja
y_{M}=\pm\sqrt{140}=\pm 2\sqrt{35}.
Assim os pontos M possíveis são M_{1}=(7,\,2\sqrt{35}) e M_{2}=(7,\,-2\sqrt{35}).

Passo 4

Definir o raio focal e montar a expressão para o seu comprimento. O raio focal é a distância entre M(x,y) e o foco F(p,0); pela fórmula da distância no plano:
r=\sqrt{(x-p)^{2}+y^{2}}.
Agora usamos a equação da parábola y^{2}=4p x para simplificar r. Substituindo y^{2} e desenvolvendo:
r=\sqrt{(x-p)^{2}+4px}=\sqrt{x^{2}-2px+p^{2}+4px}=\sqrt{x^{2}+2px+p^{2}}=\sqrt{(x+p)^{2}}.
Como x+p>0 para os pontos considerados, tem-se
r=x+p.
Essa é uma fórmula útil: para a parábola y^{2}=4px, o raio focal de um ponto (x,y) vale x+p.

Passo 5

Aplicar a fórmula ao ponto dado. Como x_{M}=7 e p=5,
r= x_{M}+p=7+5=12.
Verificação numérica rápida usando y_{M}=2\sqrt{35}:
r=\sqrt{(7-5)^{2}+(2\sqrt{35})^{2}}=\sqrt{4+4\cdot 35}=\sqrt{4+140}=\sqrt{144}=12,
confirmando o resultado.

Resposta

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