Problema 44.
Calcular o comprimento do raio focal do ponto
da parábola, dada por
sabendo-se que a abscissa do ponto
é igual a 7 .
Passo 1
O enunciado nos dá a parábola
e informa que a abscissa do ponto
é
. A pergunta é: calcular o comprimento do raio focal do ponto
da parábola (isto é, a distância entre
e o foco).
Passo 2
Identificar o parâmetro da parábola na forma padrão. A forma padrão da parábola com eixo horizontal é
onde
é a distância do vértice ao foco. Comparando com
obtemos
Portanto o foco tem coordenadas
.
Passo 3
Determinar as coordenadas possíveis do ponto
. Como
e
pertence à parábola, temos
ou seja
Assim os pontos
possíveis são
e
.
Passo 4
Definir o raio focal e montar a expressão para o seu comprimento. O raio focal é a distância entre
e o foco
; pela fórmula da distância no plano:
Agora usamos a equação da parábola
para simplificar
. Substituindo
e desenvolvendo:
Como
para os pontos considerados, tem-se
Essa é uma fórmula útil: para a parábola
, o raio focal de um ponto
vale
.
Passo 5
Aplicar a fórmula ao ponto dado. Como
e
,
Verificação numérica rápida usando
:
confirmando o resultado.