Problema 39.

Considere a equação da curva dada por
y^{2}=4-6 x
a) Verificar que essa equação representa uma parábola;
b) Determinar os seguintes elementos geométricos da parábola: as coordenadas do vértice V , valor do parâmetro p e a equação da diretriz.

Passo 1

O enunciado dá a equação
y^{2}=4-6x
e pede duas coisas:
  • (a) verificar que essa equação representa uma parábola;
  • (b) determinar os elementos geométricos: as coordenadas do vértice V, o valor do parâmetro p e a equação da diretriz.
Informações fornecidas: a única informação numérica é a equação acima. Nada mais foi dado.

Passo 2

Para verificar que a curva é uma parábola uso a forma geral das cônicas de segundo grau:
Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.
Há uma regra simples: o discriminante da cônica é
\Delta = B^{2}-4AC.
  • Se \Delta>0 a cônica é hipérbole;
  • Se \Delta=0 a cônica é parábola;
  • Se \Delta<0 a cônica é elipse (ou circunferência se A=C e B=0).
Coloco a equação dada em forma geral:
y^{2}+6x-4=0.
Comparando com a forma geral, os coeficientes são A=0, B=0, C=1. Então
\Delta = B^{2}-4AC = 0^{2}-4\cdot 0\cdot 1 = 0.
Como \Delta=0, a curva é uma parábola. (Isso responde o item (a).)

Passo 3

Agora quero colocar a equação na forma padrão de uma parábola. A forma canônica para uma parábola com eixo horizontal (centro em (h,k)) é
(y-k)^{2}=4p(x-h),
onde:
  • (h,k) é o vértice;
  • p é o parâmetro: a distância assinada do vértice ao foco (positivo se a parábola abre para a direita, negativo se abre para a esquerda);
  • a diretriz é a reta x=h-p.
Volto à nossa equação:
y^{2}=4-6x.
Reescrevo em forma que evidencie um termo (x-h):
y^{2}=-6x+4=-6\bigl(x-\tfrac{2}{3}\bigr).
Então posso escrever
y^{2} = -6\bigl(x-\tfrac{2}{3}\bigr).
Comparando com (y-k)^{2}=4p(x-h) vejo que k=0, h=\tfrac{2}{3} e 4p=-6.

Passo 4

Calculo p a partir de 4p=-6:
p=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}.
Interpretação: p<0 indica que a parábola abre para a esquerda (eixo horizontal com y=k=0).
O vértice é (h,k)=\bigl(\tfrac{2}{3},0\bigr).

Passo 5

Agora obtenho a diretriz e, se quiser, o foco (a diretriz é pedida). Para a parábola (y-k)^{2}=4p(x-h):
  • foco: (h+p,k);
  • diretriz: x = h-p.
Calculo o foco (apenas para entendimento, embora o enunciado peça a diretriz):
h+p=\tfrac{2}{3}+ \bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)=\tfrac{4}{6}-\tfrac{9}{6}=-\tfrac{5}{6},
então o foco seria \bigl(-\tfrac{5}{6},0\bigr).
Calculo a diretriz:
x = h-p = \tfrac{2}{3} - \bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)=\tfrac{2}{3}+\tfrac{3}{2}=\tfrac{4}{6}+\tfrac{9}{6}=\tfrac{13}{6}.

Passo 6

Resumo dos conceitos usados (mini-aula prática):
  • Para reconhecer a parábola examina-se \Delta=B^{2}-4AC na forma geral; \Delta=0 -> parábola.
  • Para colocar na forma canônica (y-k)^{2}=4p(x-h) isola-se um fator em (x-h) e identifica-se 4p.
  • O vértice é (h,k); p indica direção e distância (sinal negativo = abre para a esquerda); a diretriz é x=h-p.
    Exemplo rápido: se tivesse (y-1)^{2}=8(x+2) então h=-2, k=1, 4p=8 -> p=2, vértice (-2,1), diretriz x=h-p=-4.

Resposta

a) É uma parábola.
b) V=\left(\tfrac{2}{3},0\right), p=-\tfrac{3}{2}, diretriz: x=\tfrac{13}{6}

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