Problema 39.
Considere a equação da curva dada por
a) Verificar que essa equação representa uma parábola;
b) Determinar os seguintes elementos geométricos da parábola: as coordenadas do vértice V , valor do parâmetro p e a equação da diretriz.
b) Determinar os seguintes elementos geométricos da parábola: as coordenadas do vértice V , valor do parâmetro p e a equação da diretriz.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede duas coisas:
- (a) verificar que essa equação representa uma parábola;
- (b) determinar os elementos geométricos: as coordenadas do vértice
, o valor do parâmetro e a equação da diretriz.
Informações fornecidas: a única informação numérica é a equação acima. Nada mais foi dado.
Passo 2
Para verificar que a curva é uma parábola uso a forma geral das cônicas de segundo grau:
Há uma regra simples: o discriminante da cônica é
- Se
a cônica é hipérbole; - Se
a cônica é parábola; - Se
a cônica é elipse (ou circunferência se e ).
Coloco a equação dada em forma geral:
Comparando com a forma geral, os coeficientes são
,
,
. Então
Como
, a curva é uma parábola. (Isso responde o item (a).)
Passo 3
Agora quero colocar a equação na forma padrão de uma parábola. A forma canônica para uma parábola com eixo horizontal (centro em
) é
onde:
-
é o vértice; -
é o parâmetro: a distância assinada do vértice ao foco (positivo se a parábola abre para a direita, negativo se abre para a esquerda); - a diretriz é a reta
.
Volto à nossa equação:
Reescrevo em forma que evidencie um termo
:
Então posso escrever
Comparando com
vejo que
,
e
.
Passo 4
Calculo
a partir de
:
Interpretação:
indica que a parábola abre para a esquerda (eixo horizontal com
).
O vértice é
.
Passo 5
Agora obtenho a diretriz e, se quiser, o foco (a diretriz é pedida). Para a parábola
:
- foco:
; - diretriz:
.
Calculo o foco (apenas para entendimento, embora o enunciado peça a diretriz):
então o foco seria
.
Calculo a diretriz:
Passo 6
Resumo dos conceitos usados (mini-aula prática):
- Para reconhecer a parábola examina-se
na forma geral; -> parábola. - Para colocar na forma canônica
isola-se um fator em e identifica-se . - O vértice é
; indica direção e distância (sinal negativo = abre para a esquerda); a diretriz é .
Exemplo rápido: se tivesseentão , , -> , vértice , diretriz .
Resposta
a) É uma parábola.
b) ,
, diretriz:
b)