Problema 52.

Calcular a área do triângulo formado pelas assíntotas da hipérbole, definida pela equação
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1
e a reta dada por
9 x+2 y-24=0 .

Passo 1

O enunciado dá:
  • A hipérbole \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1,
  • A reta 9x+2y-24=0.
O que se pede: calcular a área do triângulo formado pelas duas assíntotas da hipérbole e pela reta dada.
Informações úteis extraídas dos dados:
  • Na forma padrão \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 tem-se a^{2}=4 e b^{2}=9. Portanto a=2 e b=3.
  • A hipérbole é centrada na origem (0,0) (isso implica que suas assíntotas passam pela origem).
  • Precisaremos encontrar as equações das assíntotas e os pontos de interseção entre cada assíntota e a reta, para então calcular a área do triângulo formado por esses três pontos.

Passo 2

Encontrar as assíntotas da hipérbole — teoria e aplicação passo a passo.
Teoria (explicada): para uma hipérbole na forma \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1, as assíntotas são retas que a curva aproxima quando |x|\to\infty. Se dividirmos a equação por x^{2} (assumindo x\neq0) obtemos:
\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{x^{2}}\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{1}{x^{2}}.
Rearranjando e isolando \left(\dfrac{y}{x}\right)^{2} obtém-se
\left(\frac{y}{x}\right)^{2}=\frac{b^{2}}{a^{2}}\left(1-\frac{a^{2}}{x^{2}}\right).
Ao tomar o limite quando |x|\to\infty o termo \dfrac{a^{2}}{x^{2}} tende a zero, logo
\frac{y}{x}\to\pm\frac{b}{a}.
Assim as assíntotas (passando pela origem, pois a hipérbole está centrada na origem) são
y=\pm\frac{b}{a}x.
Aqui a e b são os semi-eixos da hipérbole ( a no eixo x, b no eixo y).
Aplicando aos valores: a=2 e b=3, as assíntotas são
y=\frac{3}{2}x \qquad\text{e}\qquad y=-\frac{3}{2}x.

Passo 3

Calcular as interseções entre cada assíntota e a reta \,9x+2y-24=0.
Primeira assíntota y=\dfrac{3}{2}x. Substituindo na reta:
9x+2\!\left(\frac{3}{2}x\right)-24=0.
Calcule passo a passo:
9x+3x-24=0,
12x-24=0,
x=2.
Então y=\dfrac{3}{2}\cdot 2=3. Primeiro ponto de interseção: (2,3).
Segunda assíntota y=-\dfrac{3}{2}x. Substituindo:
9x+2\!\left(-\frac{3}{2}x\right)-24=0,
9x-3x-24=0,
6x-24=0,
x=4.
Então y=-\dfrac{3}{2}\cdot 4=-6. Segundo ponto de interseção: (4,-6).

Passo 4

Identificar os vértices do triângulo e preparar para calcular a área.
  • As assíntotas intersectam-se na origem (0,0) (porque passam pela origem).
  • Os outros dois vértices obtidos são (2,3) e (4,-6).
Portanto o triângulo tem vértices (0,0), (2,3) e (4,-6).
Agora, fórmula para a área (explicação didática):
  • Quando um dos vértices do triângulo é a origem (0,0) e os outros são (x_{2},y_{2}) e (x_{3},y_{3}), a área do triângulo é dada por
\text{Área}=\frac{1}{2}\left|\,\det\begin{pmatrix}x_{2} & y_{2}\\[4pt] x_{3} & y_{3}\end{pmatrix}\right| =\frac{1}{2}\left|x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}\right|.Á
Esse determinante representa a área do paralelogramo gerado pelos vetores (x_{2},y_{2}) e (x_{3},y_{3}); o triângulo é metade desse paralelogramo.
Aplicando com (x_{2},y_{2})=(2,3) e (x_{3},y_{3})=(4,-6):
\text{Área}=\frac{1}{2}\left|2\cdot(-6)-4\cdot 3\right| =\frac{1}{2}\left|-12-12\right| =\frac{1}{2}\cdot 24 =12.Á
Também se pode notar diretamente que o valor absoluto do determinante é 24, então a área do triângulo é 12.]

Passo 5

Conclusão final: a área do triângulo formado pelas duas assíntotas da hipérbole dada e pela reta 9x+2y-24=0 é 12.

Resposta

12

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