Calcular a área do triângulo formado pelas assíntotas da hipérbole, definida pela equação
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1
e a reta dada por
9 x+2 y-24=0 .
Passo 1
O enunciado dá:
A hipérbole \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1,
A reta 9x+2y-24=0.
O que se pede: calcular a área do triângulo formado pelas duas assíntotas da hipérbole e pela reta dada.
Informações úteis extraídas dos dados:
Na forma padrão \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 tem-se a^{2}=4 e b^{2}=9. Portanto a=2 e b=3.
A hipérbole é centrada na origem (0,0) (isso implica que suas assíntotas passam pela origem).
Precisaremos encontrar as equações das assíntotas e os pontos de interseção entre cada assíntota e a reta, para então calcular a área do triângulo formado por esses três pontos.
Passo 2
Encontrar as assíntotas da hipérbole — teoria e aplicação passo a passo.
Teoria (explicada): para uma hipérbole na forma \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1, as assíntotas são retas que a curva aproxima quando |x|\to\infty. Se dividirmos a equação por x^{2} (assumindo x\neq0) obtemos: