Problema 47.

Considere a parábola definida pela equação y^{2}=64 x e a reta dada por
4 x+3 y-14=0
a) Determinar o ponto M da parábola que está mais próximo da reta dada;
b) Calcular a distância mínima entre o ponto M e a reta.

Passo 1

O enunciado pede o ponto M da parábola
y^{2}=64x
que fica mais próximo da reta
4x+3y-14=0,
e a distância mínima até essa reta. Para isso vamos usar a fórmula da distância de um ponto (x,y) a uma reta e impor a condição y^{2}=64x.

Passo 2

A distância de (x,y) à reta 4x+3y-14=0 é
d(x,y)=\frac{\bigl|4x+3y-14\bigr|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}} =\frac{\bigl|4x+3y-14\bigr|}{5}.
Como (x,y) está na parábola, temos x=\tfrac{y^{2}}{64}. Substituindo em 4x+3y-14 obtemos
4\!\Bigl(\frac{y^{2}}{64}\Bigr)+3y-14 =\frac{y^{2}}{16}+3y-14.
Logo
d(y)=\frac{\bigl|\frac{y^{2}}{16}+3y-14\bigr|}{5}.

Passo 3

Para minimizar d(y) basta anular o valor absoluto, isto é resolver
\frac{y^{2}}{16}+3y-14=0.
Multiplicando por 16 tem-se
y^{2}+48y-224=0,
cuja solução é
y=-24\pm20\sqrt2.

Passo 4

Para cada raiz y encontramos
x=\frac{y^{2}}{64}.
Assim os pontos de interseção (e, portanto, de distância zero) são
M_{1}\colon y_{1}=-24+20\sqrt2,\quad x_{1}=\frac{(\,-24+20\sqrt2\,)^{2}}{64} =\frac{43-30\sqrt2}{2},
M_{2}\colon y_{2}=-24-20\sqrt2,\quad x_{2}=\frac{(\,-24-20\sqrt2\,)^{2}}{64} =\frac{43+30\sqrt2}{2}.
Qualquer ponto de interseção atinge a distância mínima zero. Se quisermos um único M, podemos escolher aquele com menor abscissa, isto é
M=\Bigl(\tfrac{43-30\sqrt2}{2},\,20\sqrt2-24\Bigr).

Resposta

(a) Os pontos de mínimo são as interseções
M_{1}\bigl(\tfrac{43-30\sqrt2}{2},\,20\sqrt2-24\bigr) \quad\text{e}\quad M_{2}\bigl(\tfrac{43+30\sqrt2}{2},\,-24-20\sqrt2\bigr),
escolhendo o de menor abscissa fica
M=\Bigl(\tfrac{43-30\sqrt2}{2},\,20\sqrt2-24\Bigr).
(b) A distância mínima é
d_{\min}=0.

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