Problema 47.
Considere a parábola definida pela equação
e a reta dada por
a) Determinar o ponto M da parábola que está mais próximo da reta dada;
b) Calcular a distância mínima entre o ponto M e a reta.
b) Calcular a distância mínima entre o ponto M e a reta.
Passo 1
O enunciado pede o ponto
da parábola
que fica mais próximo da reta
e a distância mínima até essa reta. Para isso vamos usar a fórmula da distância de um ponto
a uma reta e impor a condição
.
Passo 2
A distância de
à reta
é
Como
está na parábola, temos
. Substituindo em
obtemos
Logo
Passo 3
Para minimizar
basta anular o valor absoluto, isto é resolver
Multiplicando por
tem-se
cuja solução é
Passo 4
Para cada raiz
encontramos
Assim os pontos de interseção (e, portanto, de distância zero) são
Qualquer ponto de interseção atinge a distância mínima zero. Se quisermos um único
, podemos escolher aquele com menor abscissa, isto é
Resposta
(a) Os pontos de mínimo são as interseções
escolhendo o de menor abscissa fica
(b) A distância mínima é