Problema 48.

Determine a equação da reta tangente à parábola, definida por
y^{2}=2 p x
em seu ponto M\left(x_{1}, y_{1}\right).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à parábola
y^{2} = 2p\,x
no ponto M(x_{1},y_{1}).
Para isso vamos usar diferenciação implícita para obter a inclinação da reta tangente em função de x e y.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de
y^{2}=2p\,x
em relação a x, usando a regra da cadeia em y^{2}, obtemos
2y\,\frac{dy}{dx}=2p.

Passo 3

Isolando \frac{dy}{dx}, vem
\frac{dy}{dx}=\frac{p}{y}.
No ponto M(x_{1},y_{1}), a inclinação da tangente é
m = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x_{1},y_{1})} = \frac{p}{y_{1}}.

Passo 4

Usando a forma ponto-inclinação da reta tangente, escrevemos
y - y_{1} = m\,(x - x_{1})
e substituímos m=\tfrac{p}{y_{1}}, ficando
y - y_{1} = \frac{p}{y_{1}}\,(x - x_{1}).

Passo 5

Podemos também reescrever essa equação multiplicando tudo por y_{1}, obtendo a forma clássica da tangente à parábola y^{2}=2p\,x:
y\,y_{1}=p\,(x+x_{1}).

Resposta

y - y_{1} = \frac{p}{y_{1}}\,(x - x_{1}).

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