Problema 57.

Determine os pontos de interseção da reta, definida por
x+2 y-7=0
com a elipse
x^{2}+4 y^{2}=25

Passo 1

O enunciado pede: determinar os pontos de interseção entre a reta e a elipse dadas pelas equações abaixo. As informações fornecidas são:
  • A reta: x+2y-7=0.
  • A elipse: x^{2}+4y^{2}=25.
Objetivo claro: encontrar todos os pares ordenados (x,y) que satisfazem simultaneamente as duas equações (ou seja, os pontos que pertencem à reta e à elipse ao mesmo tempo).

Passo 2

Estratégia inicial (método da substituição): isolar uma variável numa das equações (a reta é linear, então é fácil) e substituir na outra equação. Isso reduz o sistema a uma única equação em uma variável.
Da reta x+2y-7=0 isolamos x:
x = 7 - 2y.
Aqui \,x\, está escrito em função de \,y; a ideia é substituir esse x na equação da elipse.

Passo 3

Substituímos \,x=7-2y\, na equação da elipse \,x^{2}+4y^{2}=25:
(7-2y)^{2} + 4y^{2} = 25.
Agora expandimos e calculamos passo a passo. Primeiro expandir (7-2y)^{2}:
(7-2y)^{2} = 7^{2} - 2\cdot7\cdot2y + (2y)^{2} = 49 - 28y + 4y^{2}.
Substituindo de volta:
49 - 28y + 4y^{2} + 4y^{2} = 25.
Somando os termos em y^{2}:
8y^{2} - 28y + 49 = 25.
Passamos 25 para o lado esquerdo:
8y^{2} - 28y + 24 = 0.
Para simplificar, dividimos toda a equação por 4 (dividindo por um número comum facilita os cálculos):
2y^{2} - 7y + 6 = 0.
Agora temos uma equação quadrática em \,y.

Passo 4

Resolver a quadrática \,2y^{2}-7y+6=0. Vou mostrar um método simples (fatoração), que costuma ser mais rápido em provas, e mencionar a fórmula quadrática como alternativa.
Método da fatoração:
Procuramos dois números que multiplicados deem 2\cdot6=12 e somados dêem -7. Esses números são -3 e -4, pois (-3)\cdot(-4)=12 e (-3)+(-4)=-7.
Escrevemos:
2y^{2}-7y+6 = 2y^{2}-3y-4y+6.
Agora agrupamos:
= y(2y-3)-2(2y-3) = (2y-3)(y-2).
Portanto
(2y-3)(y-2)=0.
As soluções são as raízes dos fatores:
2y-3=0 \quad\Rightarrow\quad y=\tfrac{3}{2}, \qquad y-2=0 \quad\Rightarrow\quad y=2.
Comentário rápido sobre a fórmula quadrática (caso não fosse fatorável facilmente): para \,ay^{2}+by+c=0 temos \,y=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Aqui a=2, b=-7, c=6, dando discriminante \Delta = (-7)^{2}-4\cdot2\cdot6=49-48=1, e assim y=\dfrac{7\pm1}{4}, que fornece as mesmas raízes \,y=2 e \,y=\tfrac{3}{2}.

Passo 5

Agora voltamos à expressão \,x=7-2y\, e calculamos x para cada valor de y.
  • Para y=2:
x = 7 - 2\cdot 2 = 7 - 4 = 3.
Isso dá o ponto (3,2).
  • Para y=\tfrac{3}{2}:
x = 7 - 2\cdot \tfrac{3}{2} = 7 - 3 = 4.
Isso dá o ponto \bigl(4,\tfrac{3}{2}\bigr).

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom checar):
  • Para (3,2): reta: 3+2\cdot2-7=3+4-7=0. Elipse: 3^{2}+4\cdot2^{2}=9+16=25. OK.
  • Para \bigl(4,\tfrac{3}{2}\bigr): reta: 4+2\cdot\tfrac{3}{2}-7=4+3-7=0. Elipse: 4^{2}+4\cdot\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}=16+4\cdot\tfrac{9}{4}=16+9=25. OK.
Conclusão: há dois pontos de interseção, que encontramos e verificamos.

Resposta

(3,2)
\bigl(4,\tfrac{3}{2}\bigr)

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