Problema 57.
Determine os pontos de interseção da reta, definida por
com a elipse
Passo 1
O enunciado pede: determinar os pontos de interseção entre a reta e a elipse dadas pelas equações abaixo. As informações fornecidas são:
- A reta:
- A elipse:
Objetivo claro: encontrar todos os pares ordenados
que satisfazem simultaneamente as duas equações (ou seja, os pontos que pertencem à reta e à elipse ao mesmo tempo).
Passo 2
Estratégia inicial (método da substituição): isolar uma variável numa das equações (a reta é linear, então é fácil) e substituir na outra equação. Isso reduz o sistema a uma única equação em uma variável.
Da reta
isolamos
:
Aqui
está escrito em função de
; a ideia é substituir esse
na equação da elipse.
Passo 3
Substituímos
na equação da elipse
:
Agora expandimos e calculamos passo a passo. Primeiro expandir
:
Substituindo de volta:
Somando os termos em
:
Passamos
para o lado esquerdo:
Para simplificar, dividimos toda a equação por
(dividindo por um número comum facilita os cálculos):
Agora temos uma equação quadrática em
.
Passo 4
Resolver a quadrática
. Vou mostrar um método simples (fatoração), que costuma ser mais rápido em provas, e mencionar a fórmula quadrática como alternativa.
Método da fatoração:
Procuramos dois números que multiplicados deem e somados dêem
. Esses números são
e
, pois
e
.
Procuramos dois números que multiplicados deem
Escrevemos:
Agora agrupamos:
Portanto
As soluções são as raízes dos fatores:
Comentário rápido sobre a fórmula quadrática (caso não fosse fatorável facilmente): para
temos
. Aqui
,
,
, dando discriminante
, e assim
, que fornece as mesmas raízes
e
.
Passo 5
Agora voltamos à expressão
e calculamos
para cada valor de
.
- Para
:
Isso dá o ponto
.
- Para
:
Isso dá o ponto
.
Passo 6
Verificação rápida (sempre bom checar):
- Para
: reta: . Elipse: . OK. - Para
: reta: . Elipse: . OK.
Conclusão: há dois pontos de interseção, que encontramos e verificamos.