Problema 48.

Considere a parábola definida pela equação y^{2}=64 x e a reta dada por
4 x+3 y-14=0
Determine:
  • O ponto M da parábola que está mais próximo da reta dada;
  • A distância mínima entre esse ponto M e a reta.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A parábola com equação \;y^{2}=64x\;.
  • A reta com equação \;4x+3y-14=0\;.
O que é pedido:
  • Determinar o(s) ponto(s) M da parábola que estão mais próximos da reta dada.
  • Determinar a distância mínima entre esse(s) ponto(s) e a reta.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A distância de um ponto (x,y) à reta Ax+By+C=0 é dada por \dfrac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}.
  • Para pontos da parábola vale \;x=\dfrac{y^{2}}{64}\;.
    Nada mais será usado nesta etapa; a resolução segue nos passos seguintes.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática curta e clara):
  • Para encontrar o ponto da parábola mais próximo da reta, use a fórmula da distância de um ponto à reta e escreva essa distância em função de uma única variável (por exemplo y), usando a relação da parábola x=\dfrac{y^{2}}{64}.
  • Minimizar a distância é equivalente a minimizar o numerador absoluto |4x+3y-14| (o denominador \sqrt{4^{2}+3^{2}}=5 é constante). Para trabalhar com funções diferenciáveis, podemos minimizar o quadrado do numerador, isto é, a função \big(4x+3y-14\big)^{2}.
  • Se existir ponto da parábola que satisfaça 4x+3y-14=0, então a distância mínima é zero (caso trivial e ótimo). Portanto, primeiro verificamos se a reta corta a parábola resolvendo o sistema formado pelas duas equações.

Passo 3

Substituir x da parábola na equação da reta para ver se há interseção:
  • Como \;x=\dfrac{y^{2}}{64}\;, substituir em \;4x+3y-14=0\;
4\left(\dfrac{y^{2}}{64}\right)+3y-14=0.
  • Simplificando,
\dfrac{y^{2}}{16}+3y-14=0.
Multiplicando por 16 para ficar sem frações:
y^{2}+48y-224=0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática \;y^{2}+48y-224=0\;:
  • Calcular o discriminante:
\Delta = 48^{2} - 4\cdot 1 \cdot(-224) = 2304 + 896 = 3200.
  • Escrever \Delta em forma factorizada: 3200 = 64\cdot50 = (8)^{2}\cdot(50) = (40)^{2}\cdot 2? Melhor simplificar como \sqrt{3200}=40\sqrt{2}.
  • Assim as raízes são
y=\dfrac{-48 \pm \sqrt{3200}}{2}=\dfrac{-48 \pm 40\sqrt{2}}{2}=-24 \pm 20\sqrt{2}.

Passo 5

Portanto existem duas interseções (dois valores de y) entre a reta e a parábola:
y_{1} = -24 + 20\sqrt{2},\qquad y_{2} = -24 - 20\sqrt{2}.
Para cada y obtém-se o correspondente x pela parábola \;x=\dfrac{y^{2}}{64}\;. Vamos calcular x de forma exata.

Passo 6

Calcular x correspondente aos dois y. Primeiro calcule ( -24 \pm 20\sqrt{2})^{2}:
(-24 \pm 20\sqrt{2})^{2}=(-24)^{2}\pm 2\cdot(-24)\cdot(20\sqrt{2})+(20\sqrt{2})^{2} =576 \mp 960\sqrt{2} + 800 =1376 \mp 960\sqrt{2}.
Dividindo por 64 (porque x=\dfrac{y^{2}}{64}) obtemos
x = \dfrac{1376 \mp 960\sqrt{2}}{64} = \dfrac{1376}{64} \mp \dfrac{960}{64}\sqrt{2}.
Simplificando as razões:
\dfrac{1376}{64}=\dfrac{43}{2},\qquad \dfrac{960}{64}=15.
Logo
x_{1} = \dfrac{43}{2} - 15\sqrt{2},\qquad x_{2} = \dfrac{43}{2} + 15\sqrt{2}.

Passo 7

Concluir as coordenadas dos pontos de interseção (estes são pontos da parábola que também pertencem à reta, logo a distância deles até a reta é zero):
  • Primeiro ponto:
M_{1}=\left(\dfrac{43}{2} - 15\sqrt{2}\;,\;-24 + 20\sqrt{2}\right).
  • Segundo ponto:
M_{2}=\left(\dfrac{43}{2} + 15\sqrt{2}\;,\;-24 - 20\sqrt{2}\right).
Como ambos satisfazem a equação da reta, a distância de cada um à reta é
\dfrac{|4x+3y-14|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}=0.
Portanto a distância mínima entre a parábola e a reta é 0.
Observação didática extra (por que não há outro ponto mais próximo): ao tentar minimizar a distância via derivada do quadrado do numerador obteríamos as condições que levam às interseções (ou a pontos críticos internos). Se a reta corta a curva, os pontos de interseção dão o mínimo absoluto zero — não é possível ter distância negativa, então zero é o mínimo global.

Resposta

M_{1}=\displaystyle\left(\dfrac{43}{2}-15\sqrt{2},\;-24+20\sqrt{2}\right)
M_{2}=\displaystyle\left(\dfrac{43}{2}+15\sqrt{2},\;-24-20\sqrt{2}\right)
Distância mínima =0

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