Problema 48.
Considere a parábola definida pela equação
e a reta dada por
Determine:
- O ponto M da parábola que está mais próximo da reta dada;
- A distância mínima entre esse ponto M e a reta.
Passo 1
O enunciado dá:
- A parábola com equação
. - A reta com equação
.
O que é pedido:
- Determinar o(s) ponto(s)
da parábola que estão mais próximos da reta dada. - Determinar a distância mínima entre esse(s) ponto(s) e a reta.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A distância de um ponto
à reta é dada por . - Para pontos da parábola vale
.
Nada mais será usado nesta etapa; a resolução segue nos passos seguintes.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática curta e clara):
- Para encontrar o ponto da parábola mais próximo da reta, use a fórmula da distância de um ponto à reta e escreva essa distância em função de uma única variável (por exemplo
), usando a relação da parábola . - Minimizar a distância é equivalente a minimizar o numerador absoluto
(o denominador é constante). Para trabalhar com funções diferenciáveis, podemos minimizar o quadrado do numerador, isto é, a função . - Se existir ponto da parábola que satisfaça
, então a distância mínima é zero (caso trivial e ótimo). Portanto, primeiro verificamos se a reta corta a parábola resolvendo o sistema formado pelas duas equações.
Passo 3
Substituir
da parábola na equação da reta para ver se há interseção:
- Como
, substituir em dá
- Simplificando,
Multiplicando por
para ficar sem frações:
Passo 4
Resolver a equação quadrática
:
- Calcular o discriminante:
- Escrever
em forma factorizada: Melhor simplificar como . - Assim as raízes são
Passo 5
Portanto existem duas interseções (dois valores de
) entre a reta e a parábola:
Para cada
obtém-se o correspondente
pela parábola
. Vamos calcular
de forma exata.
Passo 6
Calcular
correspondente aos dois
. Primeiro calcule
:
Dividindo por
(porque
) obtemos
Simplificando as razões:
Logo
Passo 7
Concluir as coordenadas dos pontos de interseção (estes são pontos da parábola que também pertencem à reta, logo a distância deles até a reta é zero):
- Primeiro ponto:
- Segundo ponto:
Como ambos satisfazem a equação da reta, a distância de cada um à reta é
Portanto a distância mínima entre a parábola e a reta é
.
Observação didática extra (por que não há outro ponto mais próximo): ao tentar minimizar a distância via derivada do quadrado do numerador obteríamos as condições que levam às interseções (ou a pontos críticos internos). Se a reta corta a curva, os pontos de interseção dão o mínimo absoluto zero — não é possível ter distância negativa, então zero é o mínimo global.
Resposta
Distância mínima