Problema 60.

Considere a elipse definida por seus focos F_{1} e F_{2}, e seja r uma reta tangente qualquer à elipse. Demonstre que o produto das distâncias dos focos da elipse à reta tangente r é igual ao quadrado do semieixo menor, ou seja,
d\left(F_{1}, r\right) \cdot d\left(F_{2}, r\right)=b^{2}
onde b é a medida do semieixo menor da elipse.

Passo 1

O enunciado pede para a elipse de equação padrão com semi-eixos a e b e focos F_1 e F_2 mostrada abaixo
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,
onde c^2 = a^2 - b^2 e F_1 = (c,0), F_2 = (-c,0). Queremos provar que, para qualquer reta tangente r à elipse, vale
d(F_1,r)\,\cdot\,d(F_2,r) \;=\; b^2.
Usaremos a fórmula de distância ponto-reta e a equação do tangente em um ponto genérico (x_0,y_0) da elipse.

Passo 2

Sejam (x_0,y_0) as coordenadas de um ponto qualquer sobre a elipse. A equação do tangente em (x_0,y_0) é
\frac{x_0}{a^2}\,x \;+\;\frac{y_0}{b^2}\,y \;-\;1 \;=\;0.

Passo 3

Aplicamos a fórmula da distância de um ponto (x,y) à reta Ax+By+C=0:
d = \frac{\lvert A x + B y + C\rvert}{\sqrt{A^2 + B^2}}.
Aqui A = \tfrac{x_0}{a^2}, B = \tfrac{y_0}{b^2}, C = -1.

Passo 4

Para F_1=(c,0) e F_2=(-c,0) obtemos
d(F_1,r) = \frac{\bigl\lvert \tfrac{x_0}{a^2}c -1\bigr\rvert} {\sqrt{\bigl(\tfrac{x_0}{a^2}\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{y_0}{b^2}\bigr)^2}}, \quad d(F_2,r) = \frac{\bigl\lvert -\tfrac{x_0}{a^2}c -1\bigr\rvert} {\sqrt{\bigl(\tfrac{x_0}{a^2}\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{y_0}{b^2}\bigr)^2}}.

Passo 5

Multiplicando as duas distâncias:
d(F_1,r)\,d(F_2,r) = \frac{\bigl\lvert (\tfrac{x_0}{a^2}c-1)(-\tfrac{x_0}{a^2}c-1)\bigr\rvert} {\bigl(\tfrac{x_0}{a^2}\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{y_0}{b^2}\bigr)^2} = \frac{1 - \bigl(\tfrac{x_0c}{a^2}\bigr)^2} {\bigl(\tfrac{x_0}{a^2}\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{y_0}{b^2}\bigr)^2}.
Agora usamos \tfrac{x_0^2}{a^2} + \tfrac{y_0^2}{b^2}=1 (ponto na elipse) e c^2=a^2-b^2. Após simplificar numerador e denominador, obtemos
d(F_1,r)\,d(F_2,r) \;=\; b^2.

Resposta

d(F_{1},r)\;\cdot\;d(F_{2},r)\;=\;b^{2}.

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