Problema 60.
Considere a elipse definida por seus focos
e
, e seja
uma reta tangente qualquer à elipse. Demonstre que o produto das distâncias dos focos da elipse à reta tangente
é igual ao quadrado do semieixo menor, ou seja,
onde
é a medida do semieixo menor da elipse.
Passo 1
O enunciado pede para a elipse de equação padrão com semi-eixos
e
e focos
e
mostrada abaixo
onde
e
,
. Queremos provar que, para qualquer reta tangente
à elipse, vale
Usaremos a fórmula de distância ponto-reta e a equação do tangente em um ponto genérico
da elipse.
Passo 2
Sejam
as coordenadas de um ponto qualquer sobre a elipse. A equação do tangente em
é
Passo 3
Aplicamos a fórmula da distância de um ponto
à reta
:
Aqui
,
,
.
Passo 4
Para
e
obtemos
Passo 5
Multiplicando as duas distâncias:
Agora usamos
(ponto na elipse) e
. Após simplificar numerador e denominador, obtemos