3.4.2 Para o problema do anel de cargas no Problema 3.2.4 e do disco de cargas no Problema 3.2.5, pode a lei de Gauss ser usada para determinar o campo elétrico a uma distância
do centro e sobre uma linha perpendicular ao anel ou disco? Se não, por quê?
Passo 1
O enunciado pergunta se podemos usar a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico a uma distância
do centro, ao longo do eixo, para
- o anel de carga (Problema 3.2.4)
- o disco de carga finito (Problema 3.2.5)
O conteúdo principal aqui é a Lei de Gauss e as condições de simetria necessárias para aplicá-la de modo a extrairdo integral.
Passo 2
A Lei de Gauss diz que
Para usá-la de forma prática e obter
precisamos escolher uma superfície gaussiana em que
-
seja sempre perpendicular (ou tangente) à superfície, de modo que seja trivial; - o módulo
seja o mesmo em todo pedaço relevante da superfície, permitindo tirá-lo do integral.
Isso só ocorre em distribuições com simetria esférica, cilíndrica infinita ou plana infinita.
Passo 3
Anel de cargas
- O anel tem apenas simetria de rotação em torno do eixo, mas o campo fora do eixo não é uniforme sobre qualquer superfície gaussiana.
- Se tentarmos uma superfície cilíndrica ou esférica centrada no anel, em pontos do eixo o valor de
varia de acordo com a distância de cada ponto da superfície ao anel. - Logo não há como manter
constante em toda a superfície e extrair do integral de fluxo.
Passo 4
Disco de cargas finito
- Mesmo raciocínio: um disco finito não gera campo uniforme em nenhuma superfície gaussiana simples.
- Embora o disco tenha simetria circular, para um ponto no eixo o campo em cada ponto da superfície gaussiana depende da distância ao bordo do disco.
- Assim de novo
não é constante e não dá para usar a Lei de Gauss diretamente.
Resposta
Não. Nem o anel nem o disco finito têm simetria suficiente para que o campo seja constante sobre uma superfície gaussiana simples, o que impede extrair
do integral de fluxo e aplicar a Lei de Gauss diretamente.