3.4.2 Para o problema do anel de cargas no Problema 3.2.4 e do disco de cargas no Problema 3.2.5, pode a lei de Gauss ser usada para determinar o campo elétrico a uma distância d do centro e sobre uma linha perpendicular ao anel ou disco? Se não, por quê?

Passo 1

O enunciado pergunta se podemos usar a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico a uma distância d do centro, ao longo do eixo, para
  • o anel de carga (Problema 3.2.4)
  • o disco de carga finito (Problema 3.2.5)
    O conteúdo principal aqui é a Lei de Gauss e as condições de simetria necessárias para aplicá-la de modo a extrair E do integral.

Passo 2

A Lei de Gauss diz que
oint S E cdot d A = Qrm intvarepsilon0
Para usá-la de forma prática e obter E precisamos escolher uma superfície gaussiana em que
  1. E seja sempre perpendicular (ou tangente) à superfície, de modo que Ecdot d A seja trivial;
  2. o módulo lvert Ervert seja o mesmo em todo pedaço relevante da superfície, permitindo tirá-lo do integral.
    Isso só ocorre em distribuições com simetria esférica, cilíndrica infinita ou plana infinita.

Passo 3

Anel de cargas
  • O anel tem apenas simetria de rotação em torno do eixo, mas o campo fora do eixo não é uniforme sobre qualquer superfície gaussiana.
  • Se tentarmos uma superfície cilíndrica ou esférica centrada no anel, em pontos do eixo o valor de E varia de acordo com a distância de cada ponto da superfície ao anel.
  • Logo não há como manter lvert Ervert constante em toda a superfície e extrair E do integral de fluxo.

Passo 4

Disco de cargas finito
  • Mesmo raciocínio: um disco finito não gera campo uniforme em nenhuma superfície gaussiana simples.
  • Embora o disco tenha simetria circular, para um ponto no eixo o campo em cada ponto da superfície gaussiana depende da distância ao bordo do disco.
  • Assim de novo lvert Ervert não é constante e não dá para usar a Lei de Gauss diretamente.

Resposta

Não. Nem o anel nem o disco finito têm simetria suficiente para que o campo seja constante sobre uma superfície gaussiana simples, o que impede extrair E do integral de fluxo e aplicar a Lei de Gauss diretamente.

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