3.4.3 Um volume cilíndrico, 0 <= z <= 4 m e 0 <= r <= 2 m, envolve uma carga. Se o campo elétrico é E=(z r / varepsilonn) an, determine a carga total envolvida por esse cilindro.

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro em coordenadas cilíndricas com
0 <= z <= 4, 0 <= r <= 2, 0 <= theta <= 2pi
e campo elétrico
E = z,rvarepsilonn,ar
Como queremos a carga total, usamos a forma diferencial da lei de Gauss:
rho = varepsilonn,nablacdotE,
e depois integramos rho sobre o volume para obter
Q = integralV rho,dV

Passo 2

Calculamos a divergência em coordenadas cilíndricas. Como só há componente radial Er = z,r/varepsilonn, temos
nablacdotE = 1r,partialpartial rl(r,Err) = 1r,partialpartial r!l(z,r^2varepsilonnr) = 1r,2,z,rvarepsilonn = 2,zvarepsilonn

Passo 3

Logo, a densidade volumétrica de carga é
rho = varepsilonn,nablacdotE = varepsilonn;2,zvarepsilonn = 2,z

Passo 4

A carga total é
Q = integralV rho,dV = integral0^2pi!integral0^2!integral0^4 l(2,zr),r,dz,dr,dtheta
Calculando em etapas:
integral0^42,z,dz = l[z^2r]0^4 = 16,
integral0^2 r,dr = l[tfracr^22r]0^2 = 2,
integral0^2pidtheta = 2pi
Multiplicando tudo:
Q = 16 times 2 times 2pi = 64pi

Resposta

Q = 64pi

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