Rightarrow 3.4.1 Uma distribuição volumétrica de carga, rho0=k r C / m^3, está contida em um volume esférico de raio a, e o meio é o vácuo. Determine (a) a carga total contida no volume, (b) o vetor intensidade de campo elétrico para r >= a, e (c) o vetor intensidade de campo elétrico para r <= a.

Passo 1

O enunciado dá uma densidade volumétrica de carga esférica
rho(r)=k,r(C/m^3)
válida para 0<= r<= a. O meio é o vácuo e há simetria esférica, então vamos usar a Lei de Gauss na forma integral
oint S Ecdot d A=Qrm enclvarepsilon0
para achar (a) a carga total e (b) e (c) o campo elétrico fora e dentro da esfera.

Passo 2

Para a carga total Qrm total fazemos a integral da densidade em todo o volume:
Qrm total =integralVrho(r),dV =integral0^ak,r;(4pi r^2),dr =4pi kintegral0^ar^3,dr =pi k,a^4

Passo 3

Para r>= a escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio r. Como o campo é radial e constante em módulo na superfície,
oint Ecdot d A =E(r),4pi r^2 =Qrm totalvarepsilon0 =pi k,a^4varepsilon0
Logo
E(r) =pi k,a^44pivarepsilon0,r^2 =k,a^44varepsilon0,r^2,
no sentido radial, isto é,
E(r) =k,a^44varepsilon0,r^2, r, r>= a

Passo 4

Para r<= a a carga contida dentro da esfera de raio r é
Qrm encl(r) =integral0^rk,r';(4pi r'^2),dr' =4pi kintegral0^rr'^3dr' =pi k,r^4
Aplicando Gauss:
E(r),4pi r^2 =Qrm encl(r)varepsilon0 =pi k,r^4varepsilon0,
logo
E(r) =pi k,r^44pivarepsilon0,r^2 =k,r^24varepsilon0,
e
E(r) =k,r^24varepsilon0, r, r<= a

Resposta

(a) Qrm total=pi k,a^4
(b) E(r)=k,a^44varepsilon0,r^2, r, r>= a
(c) E(r)=k,r^24varepsilon0, r, r<= a

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