Problema 2.3 (Australian Mathematics Competition, 1987, p. 15). Determine todos os inteiros
para os quais a equação
tenha alguma solução inteira
e
(com
e
não-nulos).
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os inteiros
tais que existam inteiros
e
, todos não nulos e com
, satisfazendo
O conteúdo é uma equação diofantina simétrica em
e
; vamos usar transformações algébricas e condições de existência de raízes racionais.
Passo 2
Começamos reunindo as frações no lado esquerdo:
Multiplicando em cruz por
, obtemos a forma mais simples:
Passo 3
Como a equação é homogênea em
, definimos a razão
com
. Dividindo
por
, ficamos com
ou seja
Passo 4
Para que essa equação em
tenha solução racional (e, multiplicando pelo denominador adequado, solução inteira
), o discriminante deve ser quadrado perfeito. O discriminante é
Chamando
para algum
, temos
Passo 5
Resolvemos
como um produto de dois inteiros que deve ser um quadrado. Escreva
Os divisores de
em
são
. Testando os pares
com
, obtemos apenas
-
, -
.
Passo 6
Verificamos as restrições originais:
- Para
, a equação vira , ou seja , mas isso é proibido pelo enunciado. - Para
, reaparecendo em , temos
que satisfaz
.
Portanto, o único inteiro
que vale é
.