Problema 2.3 (Australian Mathematics Competition, 1987, p. 15). Determine todos os inteiros n para os quais a equação 1 / a+1 / b= n /(a+b) tenha alguma solução inteira a e b (com a, b e a+b não-nulos).

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os inteiros n tais que existam inteiros a e b, todos não nulos e com a+b\neq0, satisfazendo
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \;=\;\frac{n}{a+b}.
O conteúdo é uma equação diofantina simétrica em a e b; vamos usar transformações algébricas e condições de existência de raízes racionais.

Passo 2

Começamos reunindo as frações no lado esquerdo:
\frac{a+b}{ab} \;=\;\frac{n}{a+b}.
Multiplicando em cruz por ab(a+b), obtemos a forma mais simples:
(a+b)^2 \;=\;n\,ab.

Passo 3

Como a equação é homogênea em a,b, definimos a razão
t = \frac{a}{b},
com b\neq0. Dividindo (a+b)^2 = n\,ab por b^2, ficamos com
\bigl(t+1\bigr)^2 = n\,t,
ou seja
t^2 + 2t + 1 = n\,t \quad\Longrightarrow\quad t^2 + (2 - n)\,t + 1 = 0.

Passo 4

Para que essa equação em t tenha solução racional (e, multiplicando pelo denominador adequado, solução inteira (a,b)), o discriminante deve ser quadrado perfeito. O discriminante é
\Delta = (2-n)^2 - 4\cdot1\cdot1 = (n-2)^2 - 4.
Chamando \Delta = k^2 para algum k\in\mathbb{Z}, temos
(n-2)^2 - 4 = k^2 \quad\Longleftrightarrow\quad n^2 - 4n = k^2 \quad\Longleftrightarrow\quad n(n-4) = k^2.

Passo 5

Resolvemos n(n-4)=k^2 como um produto de dois inteiros que deve ser um quadrado. Escreva
n(n-4) = k^2 \quad\Longleftrightarrow\quad (n-2)^2 - k^2 = 4 \quad\Longleftrightarrow\quad \bigl(n-2-k\bigr)\bigl(n-2+k\bigr)=4.
Os divisores de 4 em \mathbb{Z} são \pm1,\pm2,\pm4. Testando os pares (n-2-k,n-2+k)=(x,y) com xy=4, obtemos apenas
  • x=y=2\implies n-2=2\implies n=4,
  • x=y=-2\implies n-2=-2\implies n=0.

Passo 6

Verificamos as restrições originais:
  • Para n=0, a equação vira (a+b)^2=0, ou seja a+b=0, mas isso é proibido pelo enunciado.
  • Para n=4, reaparecendo em (a+b)^2=4ab, temos
a^2 -2ab + b^2 =0 \quad\Longleftrightarrow\quad (a-b)^2=0 \quad\Longrightarrow\quad a=b\neq0,
que satisfaz a+b\neq0.
Portanto, o único inteiro n que vale é 4.

Resposta

4

Exercícios relacionados