Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro t dado:
r(t)=\left(6 t^{2}, 4 t^{3}, 2 t\right) \quad t=1

Passo 1

O enunciado dá a curva
r(t)=\bigl(6t^{2},\,4t^{3},\,2t\bigr)
e pede o vetor tangente unitário T(t) no ponto correspondente a t=1. Para isso, precisamos calcular a derivada r'(t), avaliar em t=1, determinar o seu comprimento e, por fim, normalizar.

Passo 2

Derivando cada componente de r(t), obtemos
r'(t)=\bigl(12t,\;12t^{2},\;2\bigr).

Passo 3

Avaliamo-la em t=1:
r'(1)=\bigl(12,\;12,\;2\bigr).
Em seguida, calculamos o comprimento de r'(1):
\lvert r'(1)\rvert =\sqrt{12^{2}+12^{2}+2^{2}} =\sqrt{144+144+4} =\sqrt{292} =2\sqrt{73}.

Passo 4

O vetor tangente unitário em t=1 é
T(1) =\frac{r'(1)}{\lvert r'(1)\rvert} =\frac{1}{2\sqrt{73}}\bigl(12,\,12,\,2\bigr) =\Bigl(\frac{6}{\sqrt{73}},\,\frac{6}{\sqrt{73}},\,\frac{1}{\sqrt{73}}\Bigr).

Resposta

T(1)=\Bigl(\frac{6}{\sqrt{73}},\,\frac{6}{\sqrt{73}},\,\frac{1}{\sqrt{73}}\Bigr).

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