Um projétil é lançado verticalmente, para cima, do polo sul da Terra, com uma velocidade inicial de
. (a) Determine a altura máxima que ele atinge, desprezando a resistência do ar. (b) Caso a velocidade inicial for
, qual seria sua velocidade quando estiver muito distante da Terra. (c) Qual a velocidade de escape para esse objeto?
Passo 1
Vou listar claramente o que o problema pede e os dados disponíveis.
-
O enunciado faz três perguntas:
(a) Determinar a altura máxima atingida por um projétil lançado verticalmente para cima do polo sul da Terra com velocidade inicial, desprezando resistência do ar.
(b) Se a velocidade inicial for, qual será a velocidade do projétil quando estiver muito distante da Terra (isto é, quando )?
(c) Qual é a velocidade de escape para esse objeto (a velocidade mínima, na superfície, para que ele chegue ao infinito com velocidade nula)? -
Informações/constantes que vou usar (valores padrão aceitos):
- Constante gravitacional:
. - Massa da Terra:
. - Raio médio da Terra:
. - É conveniente usar o produto
. Vou usar (valor padrão).
- Constante gravitacional:
-
Observações importantes:
- Vou desprezar resistência do ar e efeitos de rotação da Terra.
- As equações serão tratadas com conservação de energia mecânica considerando o potencial gravitacional exato
, porque as alturas alcançadas podem ser comparáveis ao raio da Terra e o campo não é uniforme em grandes alturas.
Passo 2
Princípio físico e fórmula que vou usar (aula rápida e intuitiva).
- Conservação de energia mecânica: a energia total (cinética + potencial gravitacional) de massa
no campo da Terra é constante. A energia total em uma distância do centro da Terra é
Aqui:
-
é a massa do projétil (vai cancelar nas equações, então não precisa do seu valor), -
é a rapidez no ponto considerado, -
e já definidos, -
é a distância ao centro da Terra. -
Para o máximo de altura
o projétil para momentaneamente, então nesse ponto. Assim, igualando energia inicial (na superfície, ) com energia no ponto mais alto:
Isolando
(dividindo por
e reorganizando) obtemos a fórmula útil:
ou seja
- Para a velocidade quando
(parte b) usamos energia entre e . Como o potencial em infinito é zero, temos:
portanto
- Para a velocidade de escape
basta exigir , daí
Explicação rápida das fórmulas: a energia potencial negativa
representa “poço” gravitacional. A energia cinética inicial deve vencer parte desse poço para atingir certa altura; as fórmulas acima vêm diretamente de igualar energias iniciais e finais.
Passo 3
Cálculo detalhado do item (a): altura máxima para
.
-
Converter unidades:
. -
Usar
e . -
Calcular o termo
:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Inverter para obter
:
- Altura máxima acima da superfície
:
- Converter para quilômetros:
Interpretação curta: com
a altura máxima fica da ordem de milhares de quilômetros (bem maior que a atmosfera), por isso não podemos usar
constante; foi necessário usar o potencial gravitacional exato.
Passo 4
Cálculo detalhado do item (b): velocidade no infinito se
.
-
Converter unidades:
. -
Primeiro calcule o termo
(é justamente ; vou calcular num passo, que será útil também no item (c)):
- Calcular
pela fórmula
- Substituir números:
- Interpretação: com
sobra energia cinética quando o projétil “escapa” e, no infinito, ele ainda terá cerca de .
Passo 5
Cálculo detalhado do item (c): velocidade de escape
.
- A velocidade de escape na superfície é dada por
- Já calculamos
. Logo
- Converter para
:
(mais conveniente expressar como
, isto é
.)
Observação de arredondamento: é comum citar
.