Um projétil é lançado verticalmente, para cima, do polo sul da Terra, com uma velocidade inicial de 8,0 \mathrm{~km} / \mathrm{s}. (a) Determine a altura máxima que ele atinge, desprezando a resistência do ar. (b) Caso a velocidade inicial for 15 \mathrm{~km} / \mathrm{s}, qual seria sua velocidade quando estiver muito distante da Terra. (c) Qual a velocidade de escape para esse objeto?

Passo 1

Vou listar claramente o que o problema pede e os dados disponíveis.
  • O enunciado faz três perguntas:
    (a) Determinar a altura máxima atingida por um projétil lançado verticalmente para cima do polo sul da Terra com velocidade inicial 8{,}0\\ \mathrm{km/s}, desprezando resistência do ar.
    (b) Se a velocidade inicial for 15\\ \mathrm{km/s}, qual será a velocidade do projétil quando estiver muito distante da Terra (isto é, quando r\to\infty)?
    (c) Qual é a velocidade de escape para esse objeto (a velocidade mínima, na superfície, para que ele chegue ao infinito com velocidade nula)?
  • Informações/constantes que vou usar (valores padrão aceitos):
    • Constante gravitacional: G=6{,}67430\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-1}}.
    • Massa da Terra: M=5{,}9722\times10^{24}\\ \mathrm{kg}.
    • Raio médio da Terra: R=6{,}371\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
    • É conveniente usar o produto \mu \equiv GM. Vou usar \mu=3{,}986004418\times10^{14}\\ \mathrm{m^{3}/s^{2}} (valor padrão).
  • Observações importantes:
    • Vou desprezar resistência do ar e efeitos de rotação da Terra.
    • As equações serão tratadas com conservação de energia mecânica considerando o potencial gravitacional exato \,U(r)=-\dfrac{GMm}{r}\,, porque as alturas alcançadas podem ser comparáveis ao raio da Terra e o campo não é uniforme em grandes alturas.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vou usar (aula rápida e intuitiva).
  • Conservação de energia mecânica: a energia total (cinética + potencial gravitacional) de massa m no campo da Terra é constante. A energia total em uma distância r do centro da Terra é
E = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{GMm}{r}.
Aqui:
  • m é a massa do projétil (vai cancelar nas equações, então não precisa do seu valor),
  • v é a rapidez no ponto considerado,
  • G e M já definidos,
  • r é a distância ao centro da Terra.
  • Para o máximo de altura r_{\max} o projétil para momentaneamente, então v=0 nesse ponto. Assim, igualando energia inicial (na superfície, r=R) com energia no ponto mais alto:
\frac{1}{2} m v_{0}^{2} - \frac{GMm}{R} = -\frac{GMm}{r_{\max}}.
Isolando r_{\max} (dividindo por m e reorganizando) obtemos a fórmula útil:
\frac{1}{r_{\max}} = \frac{1}{R} - \frac{v_{0}^{2}}{2GM},
ou seja
r_{\max} = \frac{1}{\dfrac{1}{R} - \dfrac{v_{0}^{2}}{2GM}}.
  • Para a velocidade quando r\to\infty (parte b) usamos energia entre r=R e r=\infty. Como o potencial em infinito é zero, temos:
\frac{1}{2} v_{0}^{2} - \frac{GM}{R} = \frac{1}{2} v_{\infty}^{2},
portanto
v_{\infty} = \sqrt{v_{0}^{2} - \frac{2GM}{R}}.
  • Para a velocidade de escape v_{\rm esc} basta exigir v_{\infty}=0, daí
v_{\rm esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}.
Explicação rápida das fórmulas: a energia potencial negativa -GMm/r representa “poço” gravitacional. A energia cinética inicial deve vencer parte desse poço para atingir certa altura; as fórmulas acima vêm diretamente de igualar energias iniciais e finais.

Passo 3

Cálculo detalhado do item (a): altura máxima para v_{0}=8{,}0\\ \mathrm{km/s}.
  • Converter unidades: v_{0}=8{,}0\\ \mathrm{km/s}=8000\\ \mathrm{m/s}.
  • Usar \mu=GM=3{,}986004418\times10^{14}\\ \mathrm{m^{3}/s^{2}} e R=6{,}371\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
  • Calcular o termo \dfrac{v_{0}^{2}}{2\mu}:
v_{0}^{2}=8000^{2}=64{,}000{,}000\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}},
\frac{v_{0}^{2}}{2\mu}=\frac{64{,}000{,}000}{2\cdot 3{,}986004418\times10^{14}} \approx 8{,}0259\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Calcular \dfrac{1}{R}:
\frac{1}{R}=\frac{1}{6{,}371\times10^{6}}\approx 1{,}5696123\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Calcular \dfrac{1}{r_{\max}}=\dfrac{1}{R}-\dfrac{v_{0}^{2}}{2\mu}:
\frac{1}{r_{\max}}\approx 1{,}5696123\times10^{-7} - 8{,}0259\times10^{-8} \approx 7{,}67021\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Inverter para obter r_{\max}:
r_{\max} \approx \frac{1}{7{,}67021\times10^{-8}}\approx 1{,}30393\times10^{7}\\ \mathrm{m}.
  • Altura máxima acima da superfície h_{\max}=r_{\max}-R:
h_{\max}\approx 1{,}30393\times10^{7} - 6{,}371\times10^{6} \approx 6{,}6683\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
  • Converter para quilômetros: h_{\max}\approx 6{,}6683\times10^{6}\\ \mathrm{m}=6{,}6683\times10^{3}\\ \mathrm{km}\approx 6{,}67\times10^{3}\\ \mathrm{km}.
Interpretação curta: com 8{,}0\\ \mathrm{km/s} a altura máxima fica da ordem de milhares de quilômetros (bem maior que a atmosfera), por isso não podemos usar g constante; foi necessário usar o potencial gravitacional exato.

Passo 4

Cálculo detalhado do item (b): velocidade no infinito se v_{0}=15{,}0\\ \mathrm{km/s}.
  • Converter unidades: v_{0}=15{,}0\\ \mathrm{km/s}=15000\\ \mathrm{m/s}.
  • Primeiro calcule o termo \dfrac{2\mu}{R} (é justamente v_{\rm esc}^{2}; vou calcular num passo, que será útil também no item (c)):
\frac{2\mu}{R}=\frac{2\cdot 3{,}986004418\times10^{14}}{6{,}371\times10^{6}} \approx 1{,}251141\times10^{8}\\ \mathrm{(m^{2}/s^{2})}.
  • Calcular v_{\infty} pela fórmula
v_{\infty}=\sqrt{v_{0}^{2}-\frac{2\mu}{R}}.
  • Substituir números:
v_{0}^{2}=15000^{2}=225{,}000{,}000\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}},
v_{\infty}^{2}=225{,}000{,}000 - 125{,}114{,}100 \approx 99{,}885{,}900\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
v_{\infty}\approx \sqrt{99{,}885{,}900}\approx 9{,}994{,}3\\ \mathrm{m/s}\approx 9{,}994\\ \mathrm{km/s}.
  • Interpretação: com 15{,}0\\ \mathrm{km/s} sobra energia cinética quando o projétil “escapa” e, no infinito, ele ainda terá cerca de 9{,}99\\ \mathrm{km/s}.

Passo 5

Cálculo detalhado do item (c): velocidade de escape v_{\rm esc}.
  • A velocidade de escape na superfície é dada por
v_{\rm esc}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt{\frac{2\mu}{R}}.
  • Já calculamos \dfrac{2\mu}{R}\approx 1{,}251141\times10^{8}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}. Logo
v_{\rm esc}\approx \sqrt{1{,}251141\times10^{8}}\approx 11{,}186\\ \mathrm{m/s}\approx 11{,}186\\ \mathrm{m/s}=11{,}186\\ \mathrm{m/s}.
  • Converter para \mathrm{km/s}:
v_{\rm esc}\approx 11{,}186\\ \mathrm{m/s}=11{,}186\times10^{-3}\\ \mathrm{km/s}\approx 11{,}186\\ \mathrm{km/s}\times10^{-3}\approx 11{,}186\\ \mathrm{m/s}.
(mais conveniente expressar como 11{,}186\\ \mathrm{m/s}, isto é 11{,}186\\ \mathrm{m/s}\approx 11{,}19\\ \mathrm{km/s}.)
Observação de arredondamento: é comum citar v_{\rm esc}\approx 11{,}2\\ \mathrm{km/s}.

Resposta

\text{(a) }h_{\max}\approx 6{,}6683\times10^{6}\\ \mathrm{m}\approx 6{,}67\times10^{3}\\ \mathrm{km}\n
\text{(b) }v_{\infty}\approx 9{,}994\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 9{,}994\\ \mathrm{km/s}\n
\text{\text{(c)} }v_{\rm esc}\approx 1{,}1186\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}\approx 11{,}19\\ \mathrm{km/s}

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