Fazemos uma cavidade esférica em uma bola de chumbo de raio
, de tal modo que sua superfície toca o exterior da esfera de chumbo, passando também pelo seu centro. A massa da esfera, antes de ser feita a cavidade, era
. Qual a intensidade da força gravitacional com que a esfera côncava atrairá uma pequena esfera de massa
, que está a uma distância
do seu centro, medida ao longo do eixo que liga o centros dos objetos.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que segue foi retirado do enunciado, sem suposições adicionais).
- Uma esfera sólida de chumbo tem raio
e massa total antes da cavidade igual a . - Faz‑se nela uma cavidade esférica interna cuja superfície:
- passa pelo centro da esfera original;
- e toca a superfície externa da esfera (ou seja, é tangente externamente à casca da esfera).
- Depois de feita a cavidade, consideramos uma pequena esfera (ou partícula) de massa
colocada sobre o eixo que une os centros (o eixo formado entre o centro da esfera original e o centro da cavidade), a uma distância do centro da esfera original — essa é a posição da massa medida ao longo desse eixo. - Pergunta: qual é a intensidade da força gravitacional com que a esfera côncava (a esfera original com a cavidade) atrai a massa
? (Queremos a expressão da força em termos de .)
Passo 2
Entender a geometria da cavidade e encontrar seu raio. Denotemos por
o raio da cavidade e por
o centro da esfera original e por
o centro da cavidade.
As duas condições geometria dão:
- a superfície da cavidade passa por
, logo a distância entre centros é ; - a superfície da cavidade é tangente à superfície externa da esfera, logo
.
Substituindo
na segunda condição:
Portanto a cavidade é uma esfera de raio
cujo centro está a
do centro da esfera original.
Passo 3
Construir o método de resolução por superposição (explicação didática).
- Ideia física: o corpo côncavo (esfera com cavidade) é equivalente, em termos de campo gravitacional, à superposição de:
- uma esfera cheia e uniforme de massa
e raio centrada em ; - menos (isto é, com massa negativa) a esfera que foi removida (a cavidade), uma esfera de raio
centrada em com a mesma densidade que a original.
- uma esfera cheia e uniforme de massa
- Por que isso funciona: a lei da gravitação newtoniana é linear — o campo total é soma dos campos produzidos por cada porção de massa. Remover uma porção é igual a somar a contribuição de uma massa igual e oposta àquela porção.
- Então, calculemos a massa da cavidade e depois somamos os campos (forças) apropriados.
Calcular a densidade e a massa da cavidade:
- Densidade da esfera original:
- Massa da cavidade (esfera de raio
):
Substituindo
:
Passo 4
Escolher e fixar convensão de eixo e calcular distâncias relevantes (explicar claramente).
- Coloco o eixo
ao longo da linha que une (origem ) a (posição ), e suponho que a massa está no ponto com . - Distância da massa
ao centro da esfera original é (dado). - Distância da massa
ao centro da cavidade é . Como a cavidade está dentro da esfera e , se então essa distância é . (No enunciado não foi dada restrição sobre ; para a forma mais comum da questão assume‑se que a massa esteja do lado de fora da esfera original, ou seja . Vou proceder com o caso — esse é o caso padrão de problemas desse tipo; se fosse menor que seria necessário tratar a contribuição do campo dentro da esfera cheia por partes, levando a uma expressão em regime interno.)
Passo 5
Força produzida pela esfera cheia (com massa
) sobre
quando
(fórmula e explicação).
- Propriedade importante: o campo gravitacional fora de uma esfera uniforme é igual ao campo de uma massa pontual
concentrada no centro. Assim, quando a força de atração entre a esfera cheia e a massa tem intensidade
direcionada para
.
(Explicação curta: isto decorre da simetria esférica e pode ser obtido por integração direta ou por análoga à lei de Gauss para gravitação.)
Passo 6
Força produzida pela esfera que representa a cavidade (massa
) sobre
quando
.
- A cavidade, se estivesse preenchida, seria uma esfera de massa
centrada em . Para um ponto externo a essa esfera (isto é, se ; aqui, com e , temos , portanto o ponto está fora da pequena esfera), o campo é o de uma massa pontual em . - Logo a força (em módulo) que essa esfera preenchida exerceria sobre
é
- Mas como a cavidade foi removida, essa contribuição deve ser subtraída (é efetivamente uma massa negativa). Assim a contribuição total da cavidade ao campo é com sinal negativo.
Passo 7
Somar (superpor) as contribuições para obter a força total (e substituir os valores de
e
).
- Força resultante (módulo), ao longo do eixo, para
:
- Substituindo
e obtemos
Passo 8
Fazer uma pequena simplificação algébrica opcional (para deixar a expressão alternativa mais compacta).
- Note que
, então
e
- Assim uma forma alternativa é
Passo 9
Verificação física rápida (conforto): limite para
.
- Para
a segunda parcela tende a , logo
que corresponde ao comportamento esperado: à distância grande o corpo parece ter massa total
.