Fazemos uma cavidade esférica em uma bola de chumbo de raio R, de tal modo que sua superfície toca o exterior da esfera de chumbo, passando também pelo seu centro. A massa da esfera, antes de ser feita a cavidade, era M. Qual a intensidade da força gravitacional com que a esfera côncava atrairá uma pequena esfera de massa m, que está a uma distância d do seu centro, medida ao longo do eixo que liga o centros dos objetos.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que segue foi retirado do enunciado, sem suposições adicionais).
  • Uma esfera sólida de chumbo tem raio \,R e massa total antes da cavidade igual a \,M.
  • Faz‑se nela uma cavidade esférica interna cuja superfície:
    • passa pelo centro da esfera original;
    • e toca a superfície externa da esfera (ou seja, é tangente externamente à casca da esfera).
  • Depois de feita a cavidade, consideramos uma pequena esfera (ou partícula) de massa \,m colocada sobre o eixo que une os centros (o eixo formado entre o centro da esfera original e o centro da cavidade), a uma distância \,d do centro da esfera original — essa é a posição da massa \,m medida ao longo desse eixo.
  • Pergunta: qual é a intensidade da força gravitacional com que a esfera côncava (a esfera original com a cavidade) atrai a massa \,m? (Queremos a expressão da força em termos de \,G,M,m,R,d.)

Passo 2

Entender a geometria da cavidade e encontrar seu raio. Denotemos por \,a o raio da cavidade e por \,O o centro da esfera original e por \,C o centro da cavidade.
As duas condições geometria dão:
  • a superfície da cavidade passa por O, logo a distância entre centros é OC=a;
  • a superfície da cavidade é tangente à superfície externa da esfera, logo OC + a = R.
Substituindo OC=a na segunda condição:
a + a = R \quad\Rightarrow\quad 2a = R \quad\Rightarrow\quad a=\dfrac{R}{2}.
Portanto a cavidade é uma esfera de raio \,a=\dfrac{R}{2} cujo centro está a \dfrac{R}{2} do centro da esfera original.

Passo 3

Construir o método de resolução por superposição (explicação didática).
  • Ideia física: o corpo côncavo (esfera com cavidade) é equivalente, em termos de campo gravitacional, à superposição de:
    1. uma esfera cheia e uniforme de massa \,M e raio \,R centrada em O;
    2. menos (isto é, com massa negativa) a esfera que foi removida (a cavidade), uma esfera de raio \,a centrada em C com a mesma densidade que a original.
  • Por que isso funciona: a lei da gravitação newtoniana é linear — o campo total é soma dos campos produzidos por cada porção de massa. Remover uma porção é igual a somar a contribuição de uma massa igual e oposta àquela porção.
  • Então, calculemos a massa da cavidade e depois somamos os campos (forças) apropriados.
Calcular a densidade e a massa da cavidade:
  • Densidade da esfera original:
\rho=\dfrac{M}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}.
  • Massa da cavidade (esfera de raio \,a):
M_c=\rho\cdot \tfrac{4}{3}\pi a^{3} = M\cdot \dfrac{a^{3}}{R^{3}}.
Substituindo a=\dfrac{R}{2}:
M_c = M\cdot \left(\dfrac{R/2}{R}\right)^{3} = M\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3} = \dfrac{M}{8}.

Passo 4

Escolher e fixar convensão de eixo e calcular distâncias relevantes (explicar claramente).
  • Coloco o eixo x ao longo da linha que une O (origem x=0) a C (posição x=a), e suponho que a massa m está no ponto x=d com d>0.
  • Distância da massa m ao centro da esfera original é \,d (dado).
  • Distância da massa m ao centro da cavidade é \,|d-a|. Como a cavidade está dentro da esfera e a=R/2, se \,d> a então essa distância é \,d-a. (No enunciado não foi dada restrição sobre \,d; para a forma mais comum da questão assume‑se que a massa m esteja do lado de fora da esfera original, ou seja \,d\ge R. Vou proceder com o caso d\ge R — esse é o caso padrão de problemas desse tipo; se d fosse menor que R seria necessário tratar a contribuição do campo dentro da esfera cheia por partes, levando a uma expressão em regime interno.)

Passo 5

Força produzida pela esfera cheia (com massa \,M) sobre \,m quando \,d\ge R (fórmula e explicação).
  • Propriedade importante: o campo gravitacional fora de uma esfera uniforme é igual ao campo de uma massa pontual M concentrada no centro. Assim, quando \,d\ge R a força de atração entre a esfera cheia e a massa m tem intensidade
F_{1}=\dfrac{G M m}{d^{2}},
direcionada para O.
(Explicação curta: isto decorre da simetria esférica e pode ser obtido por integração direta ou por análoga à lei de Gauss para gravitação.)

Passo 6

Força produzida pela esfera que representa a cavidade (massa \,M_{c}=M/8) sobre \,m quando \,d\ge R.
  • A cavidade, se estivesse preenchida, seria uma esfera de massa M_c centrada em x=a. Para um ponto externo a essa esfera (isto é, se |d-a|\ge a; aqui, com d\ge R e a=R/2, temos |d-a|=d-a\ge R-a = R-R/2 = R/2 = a, portanto o ponto está fora da pequena esfera), o campo é o de uma massa pontual M_c em C.
  • Logo a força (em módulo) que essa esfera preenchida exerceria sobre m é
F_{2}=\dfrac{G M_{c} m}{(d-a)^{2}}.
  • Mas como a cavidade foi removida, essa contribuição deve ser subtraída (é efetivamente uma massa negativa). Assim a contribuição total da cavidade ao campo é com sinal negativo.

Passo 7

Somar (superpor) as contribuições para obter a força total (e substituir os valores de a e M_c).
  • Força resultante (módulo), ao longo do eixo, para d\ge R:
F = F_{1} - F_{2} = G m\!\left(\dfrac{M}{d^{2}} - \dfrac{M_{c}}{(d-a)^{2}}\right).
  • Substituindo M_{c}=\dfrac{M}{8} e a=\dfrac{R}{2} obtemos
F = G m\,M\!\left(\dfrac{1}{d^{2}} - \dfrac{1}{8(d-\tfrac{R}{2})^{2}}\right).

Passo 8

Fazer uma pequena simplificação algébrica opcional (para deixar a expressão alternativa mais compacta).
  • Note que d-\tfrac{R}{2}=\dfrac{2d-R}{2}, então
(d-\tfrac{R}{2})^{2}=\dfrac{(2d-R)^{2}}{4},
e
\dfrac{1}{8(d-\tfrac{R}{2})^{2}} = \dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{4}{(2d-R)^{2}} = \dfrac{1}{2(2d-R)^{2}}.
  • Assim uma forma alternativa é
F = G M m\!\left(\dfrac{1}{d^{2}} - \dfrac{1}{2(2d-R)^{2}}\right).

Passo 9

Verificação física rápida (conforto): limite para d\to\infty.
  • Para d\gg R a segunda parcela tende a \dfrac{1}{8d^{2}}, logo
F\approx G M m\left(\dfrac{1}{d^{2}} - \dfrac{1}{8d^{2}}\right)=G\cdot\dfrac{7M}{8}\cdot\dfrac{m}{d^{2}},
que corresponde ao comportamento esperado: à distância grande o corpo parece ter massa total M-M_c=M(1-1/8)=7M/8.

Resposta

F = G M m\left(\dfrac{1}{d^{2}} - \dfrac{1}{8\bigl(d-\tfrac{R}{2}\bigr)^{2}}\right)

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