Problema 2: Um bloco de madeira na forma de um paralelepípedo retângulo tem 320 cm de comprimento, 60 cm de largura e 75 cm de altura. O bloco é cortado várias vezes, com cortes paralelos às suas faces, de modo a subdividi-lo em blocos menores, todos na forma de paralelepípedos retângulos de 80 cm de comprimento por 30 cm de largura por 15 cm de altura.
(a) Quantas peças foram obtidas?
(b) Um metro cúbico dessa madeira pesa aproximadamente 900 kg . Qual é o peso de cada uma dessas peças?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • Bloco grande (origem) tem dimensões 320\\ \text{cm} de comprimento, 60\\ \text{cm} de largura e 75\\ \text{cm} de altura.
  • Cada bloco pequeno tem dimensões 80\\ \text{cm} de comprimento, 30\\ \text{cm} de largura e 15\\ \text{cm} de altura.
  • Densidade (ou massa por volume) da madeira: 900\\ \text{kg}/\text{m}^3 (ou seja, um metro cúbico pesa aproximadamente 900\\ \text{kg}).
O enunciado pede:
(a) Quantas peças (blocos pequenos) foram obtidas ao subdividir o bloco grande com cortes paralelos às faces?
(b) Qual é o peso (massa) de cada uma dessas peças?

Passo 2

Como os cortes são paralelos às faces e os blocos pequenos têm dimensões que dividem exatamente as dimensões do bloco grande, o número de peças ao longo de cada dimensão é a razão entre a dimensão do bloco grande e a dimensão correspondente do bloco pequeno. Vou calcular quantos blocos cabem em cada direção.
Número de blocos ao longo do comprimento:
\frac{320}{80}=4.
Número de blocos ao longo da largura:
\frac{60}{30}=2.
Número de blocos ao longo da altura:
\frac{75}{15}=5.
Explanação curta: cada razão é um inteiro porque as dimensões pequenas encaixam perfeitamente nas dimensões grandes sem sobra.

Passo 3

O total de peças obtidas é o produto do número de peças em cada dimensão (pois formamos uma grade tridimensional de pequenos paralelepípedos). Então:
\text{nº total} = 4 \times 2 \times 5 = 40.º
Comentário útil para prova: sempre pensar que se em uma direção cabem a peças, em outra b e na terceira c, o total é a\cdot b\cdot c.

Passo 4

Agora vamos calcular o volume de cada peça pequena. A fórmula do volume de um paralelepípedo retângulo é
V = \text{comprimento} \times \text{largura} \times \text{altura}.
Substituindo as dimensões (em centímetros cúbicos):
V_{\text{peça}} = 80 \times 30 \times 15\\ \text{cm}^3.ç
Faço as contas passo a passo:
30 \times 15 = 450,
80 \times 450 = 36\,000.
Logo
V_{\text{peça}} = 36\,000\\ \text{cm}^3.ç

Passo 5

Para usar a densidade dada em \text{kg}/\text{m}^3 preciso converter o volume para metros cúbicos. Lembrando que 1\\ \text{m} = 100\\ \text{cm}, então
1\\ \text{m}^3 = (100\\ \text{cm})^3 = 1\,000\,000\\ \text{cm}^3.
Portanto
V_{\text{peça}} = \frac{36\,000}{1\,000\,000}\\ \text{m}^3 = 0,036\\ \text{m}^3.ç

Passo 6

Relação entre densidade \rho, volume V e massa m:
m = \rho \, V.
Aqui \rho = 900\\ \text{kg}/\text{m}^3 e V = 0,036\\ \text{m}^3. Então:
m = 900 \times 0,036\\ \text{kg}.
Faço a multiplicação de forma clara:
900 \times 0,036 = 900 \times \frac{36}{1000} = \frac{900 \times 36}{1000} = \frac{32\,400}{1000} = 32,4.
Portanto a massa (peso aproximado, em kg) de cada peça é 32,4\\ \text{kg}.

Passo 7

Checagem rápida de consistência (útil na prova): volume total do bloco grande é
V_{\text{grande}} = 320\times 60 \times 75\\ \text{cm}^3 = 1\,440\,000\\ \text{cm}^3 = 1,44\\ \text{m}^3.
Volume total pelas 40 peças pequenas é 40\times 36\,000\\ \text{cm}^3 = 1\,440\,000\\ \text{cm}^3, bate certinho. Massa total seria 1,44\times 900 = 1\,296\\ \text{kg}, e 1\,296/40 = 32,4\\ \text{kg} por peça, confirmando o resultado.

Resposta

(a) 40
(b) 32,4\\ \text{kg}

Exercícios relacionados