(1,5) Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n 3^{n}}
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n 3^{n}}.
Informações dadas e observações iniciais:
A expressão escrita tem um problema no termo n=0 porque \dfrac{1}{n} seria \dfrac{1}{0}, indefinido. Vou assumir, como é habitual nesses casos, que a soma começa em n=1. Assim trabalharemos com
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n 3^{n}}.
Os coeficientes da série (da forma \sum a_n x^n) são
a_n=\frac{1}{n3^{n}},\qquad n\ge 1.
O que se pede:
o raio de convergência R (valor tal que a série converge para |x|<R e diverge para |x|>R);
o intervalo de convergência real (ou seja, dizer se os pontos finais x=\pm R estão incluídos ou não).
Passo 2
Como se acha o raio de convergência na prática? Vou explicar duas ideias padrão (você pode usar qualquer uma na prova).
Método 1 (teste da razão): para uma série de potências \sum a_n x^n, se existir
então o raio de convergência é R=\dfrac{1}{L} (com a convenção 1/0=\infty e 1/\infty=0). A ideia por trás é comparar com uma série geométrica; o teste da razão determina para quais x a razão entre termos sucessivos em módulo é menor que 1.
Método 2 (teste da raiz): calcular \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}. Nesse caso R=1/\limsup. Este método é útil quando a_n envolve potências em n.
Logo, pelo teste da razão, o raio de convergência é
R=\frac{1}{L}= \frac{1}{\tfrac{1}{3}}=3.
Comentário didático: isso significa que a série converge pelo menos para todo x com |x|<3 e diverge para |x|>3. Falta decidir o que acontece em |x|=3 (os pontos finais).
Esta é a série harmônica. Lembrete sobre a divergência da série harmônica: a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge (por exemplo pelo teste da integral, já que \displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{t}\,dt=\infty, ou por comparação com blocos somando termos). Portanto a série não converge em x=3.
Esta é a série alternada \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}b_n com b_n=\dfrac{1}{n}.
Aplicando o teste de Leibniz (teste da série alternada): se b_n\ge 0, b_{n+1}\le b_n (sequência decrescente a partir de algum ponto) e \lim_{n\to\infty}b_n=0, então a série alternada converge. Aqui b_n=\dfrac{1}{n} é positiva, monotonicamente decrescente e \lim_{n\to\infty}b_n=0. Portanto a série converge em x=-3.
Além disso, se considerarmos a convergência absoluta em x=-3, tomamos os valores absolutos: