(1,5) Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n 3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n 3^{n}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão escrita tem um problema no termo n=0 porque \dfrac{1}{n} seria \dfrac{1}{0}, indefinido. Vou assumir, como é habitual nesses casos, que a soma começa em n=1. Assim trabalharemos com
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n 3^{n}}.
  • Os coeficientes da série (da forma \sum a_n x^n) são
a_n=\frac{1}{n3^{n}},\qquad n\ge 1.
  • O que se pede:
    1. o raio de convergência R (valor tal que a série converge para |x|<R e diverge para |x|>R);
    2. o intervalo de convergência real (ou seja, dizer se os pontos finais x=\pm R estão incluídos ou não).

Passo 2

Como se acha o raio de convergência na prática? Vou explicar duas ideias padrão (você pode usar qualquer uma na prova).
  • Método 1 (teste da razão): para uma série de potências \sum a_n x^n, se existir
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|,
então o raio de convergência é R=\dfrac{1}{L} (com a convenção 1/0=\infty e 1/\infty=0). A ideia por trás é comparar com uma série geométrica; o teste da razão determina para quais x a razão entre termos sucessivos em módulo é menor que 1.
  • Método 2 (teste da raiz): calcular \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}. Nesse caso R=1/\limsup. Este método é útil quando a_n envolve potências em n.
Vou aplicar o teste da razão (é direto aqui).

Passo 3

Calcular a razão entre coeficientes:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{\dfrac{1}{(n+1)3^{\,n+1}}}{\dfrac{1}{n3^{\,n}}} = \frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{3}.
Agora faço o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{3} =\frac{1}{3}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} =\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}.
Logo, pelo teste da razão, o raio de convergência é
R=\frac{1}{L}= \frac{1}{\tfrac{1}{3}}=3.
Comentário didático: isso significa que a série converge pelo menos para todo x com |x|<3 e diverge para |x|>3. Falta decidir o que acontece em |x|=3 (os pontos finais).

Passo 4

Testar o ponto x=3. Substituindo:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{n3^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
Esta é a série harmônica. Lembrete sobre a divergência da série harmônica: a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge (por exemplo pelo teste da integral, já que \displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{t}\,dt=\infty, ou por comparação com blocos somando termos). Portanto a série não converge em x=3.

Passo 5

Testar o ponto x=-3. Substituindo:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-3)^{n}}{n3^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}.
Esta é a série alternada \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}b_n com b_n=\dfrac{1}{n}.
Aplicando o teste de Leibniz (teste da série alternada): se b_n\ge 0, b_{n+1}\le b_n (sequência decrescente a partir de algum ponto) e \lim_{n\to\infty}b_n=0, então a série alternada converge. Aqui b_n=\dfrac{1}{n} é positiva, monotonicamente decrescente e \lim_{n\to\infty}b_n=0. Portanto a série converge em x=-3.
Além disso, se considerarmos a convergência absoluta em x=-3, tomamos os valores absolutos:
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n}}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica e diverge. Logo a convergência em x=-3 é condicional (converge, mas não absolutamente).

Passo 6

Conclusão final baseada nos passos anteriores:
  • O raio de convergência é R=3.
  • A série converge para |x|<3.
  • No extremo x=3 a série diverge.
  • No extremo x=-3 a série converge (condicionalmente).

Resposta

Raio de convergência: R=3
Intervalo de convergência: \,[-3,3)

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