A pergunta é: essa série converge (tem soma finita) ou diverge?
Informações úteis fornecidas pelo enunciado:
O termo geral da série é \displaystyle a_{n}=\ln\!\left(\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}\right).
A série é a soma de todos os a_{n} para n=1,2,\dots.
Passo 2
Regra necessária para convergência (teorema que vamos usar).
Uma condição necessária para que uma série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} convirja é que o termo geral tenda a zero quando n\to\infty, ou seja,
\text{se }\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\text{ converge então }\lim_{n\to\infty} a_{n}=0.
Explicando por que isso é intuitivo: se os termos não ficam cada vez menores e não tendem a zero, somá-los infinitamente vai acumular um valor não nulo por termo e a soma não pode estabilizar num número finito. Essa é uma ferramenta rápida e muito usada para mostrar divergência: basta mostrar \lim_{n\to\infty} a_{n}\neq 0.
Passo 3
Calcular o limite do termo geral \displaystyle a_{n}=\ln\!\left(\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}\right). Para isso, fatoramos n^{2} no numerador e no denominador dentro do log:
Aplicando a regra necessária para convergência do Passo 2: o limite do termo geral é
\lim_{n\to\infty} a_{n}=-\ln 2\neq 0.
Portanto a série não pode convergir. Concluímos que a série diverge.
Passo 5
Interpretação adicional (para consolidar a intuição): como a_{n}\to -\ln 2 (um número negativo constante), os somatórios parciais S_{N}=\sum_{n=1}^{N} a_{n} comportam-se para grandes N aproximadamente como
S_{N}\approx N\cdot(-\ln 2),
que tende a -\infty quando N\to\infty. Assim, além de divergir, a série diverge para -\infty.
Resposta
Diverge (mais precisamente, diverge para -\infty).