(3,0) Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado dá a série infinita cuja soma dos termos é
\sum_{n=1}^{\infty} \ln\!\left(\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}\right).
A pergunta é: essa série converge (tem soma finita) ou diverge?
Informações úteis fornecidas pelo enunciado:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_{n}=\ln\!\left(\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}\right).
  • A série é a soma de todos os a_{n} para n=1,2,\dots.

Passo 2

Regra necessária para convergência (teorema que vamos usar).
Uma condição necessária para que uma série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} convirja é que o termo geral tenda a zero quando n\to\infty, ou seja,
\text{se }\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\text{ converge então }\lim_{n\to\infty} a_{n}=0.ã
Explicando por que isso é intuitivo: se os termos não ficam cada vez menores e não tendem a zero, somá-los infinitamente vai acumular um valor não nulo por termo e a soma não pode estabilizar num número finito. Essa é uma ferramenta rápida e muito usada para mostrar divergência: basta mostrar \lim_{n\to\infty} a_{n}\neq 0.

Passo 3

Calcular o limite do termo geral \displaystyle a_{n}=\ln\!\left(\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}\right). Para isso, fatoramos n^{2} no numerador e no denominador dentro do log:
a_{n}=\ln\!\left(\frac{n^{2}\left(1+\dfrac{1}{n^{2}}\right)}{n^{2}\left(2+\dfrac{1}{n^{2}}\right)}\right) =\ln\!\left(\frac{1+\dfrac{1}{n^{2}}}{2+\dfrac{1}{n^{2}}}\right).
Agora tomamos o limite quando n\to\infty. Como \dfrac{1}{n^{2}}\to0, os termos dentro do log tendem a \dfrac{1}{2}. Logo
\lim_{n\to\infty} a_{n} =\ln\!\left(\frac{1+0}{2+0}\right) =\ln\!\left(\frac{1}{2}\right) =-\ln 2.

Passo 4

Aplicando a regra necessária para convergência do Passo 2: o limite do termo geral é
\lim_{n\to\infty} a_{n}=-\ln 2\neq 0.
Portanto a série não pode convergir. Concluímos que a série diverge.

Passo 5

Interpretação adicional (para consolidar a intuição): como a_{n}\to -\ln 2 (um número negativo constante), os somatórios parciais S_{N}=\sum_{n=1}^{N} a_{n} comportam-se para grandes N aproximadamente como
S_{N}\approx N\cdot(-\ln 2),
que tende a -\infty quando N\to\infty. Assim, além de divergir, a série diverge para -\infty.

Resposta

Diverge (mais precisamente, diverge para -\infty).

Exercícios relacionados