Problema 2: Um bloco de massa conhecida m é solto em uma rampa, com atrito, que faz um ângulo de inclinação \theta (conhecido) com a horizontal.
(a) Faça o diagrama de forças que atuam sobre o bloco e identifique os pares correspondentes a ação e reação. (0,50)
(b) Qual é o menor coeficiente de atrito estático \mu_{c} que manteria o bloco em repouso? (1,00)
(c) Caso saibamos o coeficiente de atrito cinético \mu_{c}, se empurrarmos o bloco rampa abaixo e o soltarmos, qual seria a sua aceleraçāo? (0,50).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
  • Informação: um bloco de massa \,m é solto em uma rampa que faz um ângulo \theta com a horizontal. Há atrito entre bloco e rampa.
  • Pedido (a): desenhar o diagrama de forças que atuam sobre o bloco e identificar os pares correspondentes a ação e reação.
  • Pedido (b): encontrar o menor coeficiente de atrito estático \mu_{c} que mantenha o bloco em repouso sobre a rampa.
  • Pedido (c): sabendo o coeficiente de atrito cinético (que vou chamar de \mu_{k}), se empurrarmos o bloco rampa abaixo e o soltarmos, qual será a aceleração?
Observações importantes extraídas do enunciado: \,m e \theta são conhecidos; existe atrito estático e atrito cinético (usarei \mu_c para o coeficiente crítico pedido em (b) e \mu_k para o coeficiente cinético em (c)).
A resolução inicia a partir do Passo 2.

Passo 2

Descrever os pontos do diagrama de corpo livre (aula rápida sobre como montar): quando isolamos o bloco, representamos as forças externas que atuam sobre ele como vetores aplicados no centro de massa. Aqui as forças são:
  • O peso: força gravitacional apontando vertical para baixo, de módulo \,mg.
  • A força normal: reação da superfície da rampa sobre o bloco, perpendicular à superfície, módulo N.
  • A força de atrito: atua tangencialmente à superfície da rampa e sempre se opõe ao movimento relativo (ou à tendência de movimento). Se o bloco tende a escorregar para baixo, a força de atrito estática aponta para cima ao longo da rampa; se estiver em movimento para baixo, o atrito cinético aponta para cima com módulo f_k=\mu_k N.
Explicação didática das forças:
  • O peso \,mg é sempre vertical para baixo. Não confundir peso com componente do peso.
  • A normal N surge porque a rampa impede que o bloco penetre no corpo da rampa; ela é sempre perpendicular à superfície.
  • O atrito tem duas “modalidades”: estático (pode assumir valores até um máximo) e cinético (tem valor aproximadamente constante durante o deslizamento). A fórmula do atrito máximo estático é f_{s}^{\max}=\mu_s N. A força de atrito cinético vale f_k=\mu_k N.

Passo 3

Decompor o peso em componentes paralela e perpendicular à rampa (a técnica fundamental neste tipo de problema):
  • Escolhemos eixos: eixo perpendicular à rampa (eixo normal) e eixo paralela à rampa (eixo tangencial, positivo para baixo ao longo da rampa).
  • Geometria: ao projetar o vetor \,mg no sistema ligado à rampa, as componentes são: \text{componente perpendicular: } mg\cos\theta
\text{componente paralela (para baixo): } mg\sin\theta
Explicação do porquê: faça um triângulo retângulo do vetor peso com ângulo \theta entre vertical e normal ao plano; as projeções resultam nessas razões trigonométricas.

Passo 4

Calcular a normal N usando equilíbrio das forças na direção perpendicular (aqui assumimos que o bloco não acelera para fora ou para dentro da rampa nessa direção):
  • Soma das forças na direção perpendicular = 0, pois não há movimento perpendicular: N - mg\cos\theta = 0
  • Logo: N = mg\cos\theta
Explicação: a normal equilibra exatamente a componente perpendicular do peso quando não há aceleração nessa direção.

Passo 5

Resolver a parte (a): listar explicitamente o diagrama de forças e identificar os pares ação-reação (Newton 3º).
  • Diagrama de forças sobre o bloco (descrição que corresponde ao desenho pedido):
    • \,mg: força peso, vertical para baixo, de módulo mg.
    • N: força normal da rampa sobre o bloco, perpendicular à superfície, de módulo N=mg\cos\theta.
    • f: força de atrito entre rampa e bloco, ao longo da superfície; se o bloco tende a escorregar para baixo, f aponta para cima e satisfaz f\le \mu_s N (estático) ou f=\mu_k N se estiver em movimento (cinético).
  • Pares ação-reação (cada par tem forças de mesma linha de ação/oposta aplicadas em corpos diferentes):
    1. Peso: a ação é a força da Terra sobre o bloco \, \vec{F}_{\text{Terra sobre bloco}} = mg (vertical para baixo). A reação é a força do bloco sobre a Terra \, \vec{F}_{\text{bloco sobre Terra}} de mesmo módulo mg e direção oposta (vertical para cima).
    2. Normal: a ação é a força da rampa sobre o bloco \vec{N}_{\text{rampa sobre bloco}} (perpendicular para fora); a reação é a força do bloco sobre a rampa \vec{N}_{\text{bloco sobre rampa}} de mesmo módulo e direção oposta (perpendicular para dentro da rampa).
    3. Atrito: a ação é a força da rampa sobre o bloco \vec{f}_{\text{rampa sobre bloco}} (paralela à superfície, oposta ao movimento/tendência); a reação é a força do bloco sobre a rampa \vec{f}_{\text{bloco sobre rampa}} (mesmo módulo, direção oposta).
      Comentário prático: todas essas forças agem em pares, mas em corpos distintos — por isso não se “cancelam” entre si quando somamos forças que atuam sobre um mesmo corpo.

Passo 6

Resolver a parte (b): encontrar o menor coeficiente de atrito estático \mu_c que impede o deslizamento.
  • Condição de não escorregamento: a componente paralela do peso deve ser menor ou igual à força de atrito estático máxima: mg\sin\theta \le f_{s}^{\max} = \mu_c N
  • Substituir N=mg\cos\theta: mg\sin\theta \le \mu_c (mg\cos\theta)
  • Cancelar mg (assumindo m>0 e g>0): \sin\theta \le \mu_c \cos\theta
  • Dividir por \cos\theta (assumindo \cos\theta>0; se \cos\theta=0 o plano é vertical e o bloco não fica parado de jeito nenhum): \tan\theta \le \mu_c
  • Assim o menor (crítico) coeficiente que mantém o bloco em repouso é: \mu_c = \tan\theta
Explicação didática: a razão \tan\theta surge porque estamos comparando quanto “puxa para baixo” ( \sin\theta) com quanto a rampa pode resistir proporcional ao contato ( \cos\theta).

Passo 7

Explicar fisicamente o resultado de (b) para dar confiança: se \mu_c>\tan\theta o atrito estático máximo é suficiente para equilibrar a tendência de escorregamento; se \mu_c<\tan\theta a componente paralela vence e o bloco escorrega. Observe que esse resultado não depende de m: massa cancela.

Passo 8

Resolver a parte (c): aceleração quando o bloco está em movimento para baixo com atrito cinético \mu_k.
  • Ao empurrar e soltar, o bloco se move para baixo; a força de atrito atuante é cinética e vale f_k=\mu_k N.
  • Forças ao longo do eixo paralelo à rampa (positivo para baixo):
    • Força para baixo: mg\sin\theta.
    • Força para cima (atrapalhando o movimento): f_k=\mu_k N = \mu_k mg\cos\theta.
  • Pela segunda lei de Newton (soma das forças = massa × aceleração): \sum F_{\parallel} = mg\sin\theta - \mu_k mg\cos\theta = ma
  • Cancelando m (novamente m>0): a = g\sin\theta - \mu_k g\cos\theta
  • Colocando em fator comum g: a = g\bigl(\sin\theta - \mu_k\cos\theta\bigr)
Explicação didática: a aceleração resulta da diferença entre a “força motriz” mg\sin\theta e a resistência do atrito cinético \mu_k mg\cos\theta, tudo dividido por m. Note que se \sin\theta<\mu_k\cos\theta o resultado seria negativo — isso significa que, com esse \mu_k, o atrito cinético é maior que a componente que puxa para baixo; na prática, isso quer dizer que, se o bloco estivesse deslizando para baixo, a aceleração seria para cima (o que é inconsistente com movimento contínuo para baixo): nesse caso real o bloco não manteria movimento para baixo livremente (poderia parar). Mas como a hipótese é que empurramos e soltamos, o valor de a dado é a aceleração instantânea enquanto estiver deslizando para baixo.

Resposta

(a) Forças: \;mg (peso, vertical para baixo); N (normal, perpendicular à rampa, N=mg\cos\theta); f (atrito, ao longo da rampa, contrário ao movimento/tendência). Pares ação-reação: Terra↔bloco (peso mg e reação contrária), rampa↔bloco (normal N e reação contrária), rampa↔bloco (atrito f e reação contrária).
(b) \displaystyle \mu_{c}=\tan\theta
(c) \displaystyle a=g\bigl(\sin\theta-\mu_{k}\cos\theta\bigr)

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