Problema 4: Um elevador de massa m está descendo com velocidade constante v_{i} quando o cabo de sustentaçāo começa a deslizar, permitindo que o elevador caia com aceleração a=g / 4.
(a) Se o elevador cair de uma altura conhecida d, qual é o trabalho realizado sobre o elevador pela força gravitacional? (0,50)
(b) E qual é o trabalho realizado pela força exercida pelo cabo? (0,75)
(c) Qual é a energia cinética do elevador no final da queda? (0,75) \circlearrowleft foo \bmod ( hi )

Passo 1

O enunciado dá um elevador de massa m que está descendo com velocidade constante \,v_{i}\, no instante em que o cabo começa a deslizar, passando a permitir uma queda com aceleração \,a = g/4\,. O elevador desce uma altura conhecida \,d\,. Perguntas pedidas:
(a) qual é o trabalho realizado sobre o elevador pela força gravitacional ao descer a altura \,d?
(b) qual é o trabalho realizado pela força exercida pelo cabo durante essa descida?
(c) qual é a energia cinética do elevador no final da queda?
Informações relevantes (resumidas):
m,\quad v_{i},\quad a=\frac{g}{4},\quad \text{deslocamento vertical } d \text{ (para baixo)}.

Passo 2

Definição de trabalho (aula rápida): o trabalho de uma força constante \vec{F} ao longo de um deslocamento \vec{s} é o produto escalar
W=\vec{F}\cdot\vec{s}=F\,s\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{F} e \vec{s}. Se força e deslocamento têm a mesma direção e sentido, \cos\theta=1 e W=Fs. Se sentidos opostos, \cos\theta=-1 e W=-Fs.

Passo 3

Trabalho da força gravitacional: a força peso tem magnitude mg e aponta para baixo; o deslocamento é de módulo d para baixo, logo força e deslocamento têm mesmo sentido. Aplicando a definição,
W_{\text{grav}} = mg\cdot d = mgd.
Observação sobre sinal: o trabalho da gravidade é positivo porque a gravidade age no mesmo sentido do deslocamento.

Passo 4

Para achar o trabalho do cabo precisamos primeiro saber a força que o cabo exerce (tensão). Use a segunda lei de Newton no sentido vertical (escolhendo sentido para baixo como positivo): as forças verticais são o peso para baixo mg e a tensão para cima T. A equação é
mg - T = m a.
Isolando T,
T = mg - m a.
Substituindo a=\dfrac{g}{4},
T = mg - m\frac{g}{4} = m\left(g-\frac{g}{4}\right)=m\frac{3g}{4}.

Passo 5

Trabalho realizado pela força do cabo: a tensão aponta para cima enquanto o deslocamento é para baixo, então os vetores estão em sentidos opostos e o trabalho é negativo. Pelo módulo,
W_{\text{cabo}} = -T d.
Substituindo T=m\frac{3g}{4},
W_{\text{cabo}} = -m\frac{3g}{4}\,d = -\frac{3}{4}mgd.

Passo 6

Verificação por equilíbrio de energias (teorema do trabalho e energia): o trabalho total (soma dos trabalhos das forças) é igual à variação da energia cinética,
W_{\text{net}} = W_{\text{grav}} + W_{\text{cabo}}.
Substituindo os valores já obtidos,
W_{\text{net}} = mgd - \frac{3}{4}mgd = \frac{1}{4}mgd.
Se a energia cinética inicial é
K_i = \frac{1}{2}m v_i^2,
então a energia cinética final é
K_f = K_i + W_{\text{net}} = \frac{1}{2}m v_i^2 + \frac{1}{4}mgd.

Passo 7

(Método alternativo de verificação — útil para a prova) Usando a equação de movimento retilíneo uniformemente acelerado para velocidade final v_f:
v_f^2 = v_i^2 + 2 a d.
Com a=\dfrac{g}{4},
v_f^2 = v_i^2 + 2\cdot\frac{g}{4}\,d = v_i^2 + \frac{g}{2}d.
Logo a energia cinética final vale
K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2}m\left(v_i^2 + \frac{g}{2}d\right) = \frac{1}{2}m v_i^2 + \frac{1}{4}mgd,
que coincide com o resultado do teorema do trabalho e energia (boa checagem).

Resposta

(a) W_{\text{grav}} = mgd
(b) W_{\text{cabo}} = -\dfrac{3}{4}mgd
(c) K_{f} = \dfrac{1}{2}m v_{i}^{2} + \dfrac{1}{4}mgd

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