Problema 4: Um elevador de massa
está descendo com velocidade constante
quando o cabo de sustentaçāo começa a deslizar, permitindo que o elevador caia com aceleração
.
(a) Se o elevador cair de uma altura conhecida
, qual é o trabalho realizado sobre o elevador pela força gravitacional?
(b) E qual é o trabalho realizado pela força exercida pelo cabo?
(c) Qual é a energia cinética do elevador no final da queda?
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hi
(a) Se o elevador cair de uma altura conhecida
(b) E qual é o trabalho realizado pela força exercida pelo cabo?
(c) Qual é a energia cinética do elevador no final da queda?
Passo 1
O enunciado dá um elevador de massa
que está descendo com velocidade constante
no instante em que o cabo começa a deslizar, passando a permitir uma queda com aceleração
. O elevador desce uma altura conhecida
. Perguntas pedidas:
(a) qual é o trabalho realizado sobre o elevador pela força gravitacional ao descer a altura ?
(b) qual é o trabalho realizado pela força exercida pelo cabo durante essa descida?
(c) qual é a energia cinética do elevador no final da queda?
(a) qual é o trabalho realizado sobre o elevador pela força gravitacional ao descer a altura
(b) qual é o trabalho realizado pela força exercida pelo cabo durante essa descida?
(c) qual é a energia cinética do elevador no final da queda?
Informações relevantes (resumidas):
Passo 2
Definição de trabalho (aula rápida): o trabalho de uma força constante
ao longo de um deslocamento
é o produto escalar
onde
é o ângulo entre
e
. Se força e deslocamento têm a mesma direção e sentido,
e
. Se sentidos opostos,
e
.
Passo 3
Trabalho da força gravitacional: a força peso tem magnitude
e aponta para baixo; o deslocamento é de módulo
para baixo, logo força e deslocamento têm mesmo sentido. Aplicando a definição,
Observação sobre sinal: o trabalho da gravidade é positivo porque a gravidade age no mesmo sentido do deslocamento.
Passo 4
Para achar o trabalho do cabo precisamos primeiro saber a força que o cabo exerce (tensão). Use a segunda lei de Newton no sentido vertical (escolhendo sentido para baixo como positivo): as forças verticais são o peso para baixo
e a tensão para cima
. A equação é
Isolando
,
Substituindo
,
Passo 5
Trabalho realizado pela força do cabo: a tensão aponta para cima enquanto o deslocamento é para baixo, então os vetores estão em sentidos opostos e o trabalho é negativo. Pelo módulo,
Substituindo
,
Passo 6
Verificação por equilíbrio de energias (teorema do trabalho e energia): o trabalho total (soma dos trabalhos das forças) é igual à variação da energia cinética,
Substituindo os valores já obtidos,
Se a energia cinética inicial é
então a energia cinética final é
Passo 7
(Método alternativo de verificação — útil para a prova) Usando a equação de movimento retilíneo uniformemente acelerado para velocidade final
:
Com
,
Logo a energia cinética final vale
que coincide com o resultado do teorema do trabalho e energia (boa checagem).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)