- PROBLEMA 2

Calcule 8 \cdot \int_{-1}^{0}|4 w+3| d w
Resposta: 10

Passo 1

O problema pede para calcular
8 \cdot \int_{-1}^{0} \lvert 4w + 3\rvert \,dw
O conteúdo principal é integrar uma função com valor absoluto, o que exige identificar onde 4w+3 muda de sinal e, em seguida, dividir o integral em dois trechos sem o módulo.

Passo 2

Encontramos o ponto de quebra resolvendo
4w + 3 = 0\quad\Longrightarrow\quad w = -\tfrac{3}{4}.
Assim, em [-1,-\tfrac{3}{4}] temos 4w+3\le0 e em [-\tfrac{3}{4},0] temos 4w+3\ge0.

Passo 3

Escrevemos o integral em duas partes sem valor absoluto:
\int_{-1}^{0} \lvert 4w + 3\rvert \,dw = \int_{-1}^{-\tfrac{3}{4}} \bigl[-(4w+3)\bigr] \,dw + \int_{-\tfrac{3}{4}}^{0} (4w+3)\,dw.

Passo 4

Calcular a primeira parte:
uma primitiva de -(4w+3) é
F_1(w) = -2w^2 - 3w.
Logo,
\int_{-1}^{-\tfrac{3}{4}} \bigl[-(4w+3)\bigr] \,dw = \bigl[F_1(w)\bigr]_{w=-1}^{w=-\tfrac{3}{4}} = \bigl(-2\bigl(-\tfrac{3}{4}\bigr)^2 - 3(-\tfrac{3}{4})\bigr) - \bigl(-2( -1)^2 - 3(-1)\bigr) = \tfrac{9}{8} - 1 = \tfrac{1}{8}.

Passo 5

Calcular a segunda parte:
uma primitiva de 4w+3 é
F_2(w) = 2w^2 + 3w.
Portanto,
\int_{-\tfrac{3}{4}}^{0} (4w+3)\,dw = \bigl[F_2(w)\bigr]_{w=-\tfrac{3}{4}}^{w=0} = \bigl(0\bigr) - \bigl(2\bigl(-\tfrac{3}{4}\bigr)^2 + 3(-\tfrac{3}{4})\bigr) = -\bigl(\tfrac{9}{8} - \tfrac{9}{4}\bigr) = \tfrac{9}{8}.

Passo 6

Somando as duas partes:
\int_{-1}^{0} \lvert 4w + 3\rvert \,dw = \tfrac{1}{8} + \tfrac{9}{8} = \tfrac{10}{8} = \tfrac{5}{4}.
Multiplicando por 8:
8 \cdot \tfrac{5}{4} = 10.

Resposta

10

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