- PROBLEMA 1

Encontre o valor de \int_{\pi}^{0} \sin z \cos ^{3} z d z
Resposta: 0

Passo 1

O problema pede o valor de \displaystyle \int_{\pi}^{0} \sin z \,\cos^{3}z \,dz. Vamos usar o método de substituição, pois vemos o produto de \sin z com uma função de \cos z.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \cos z,
logo
du = -\sin z\,dz \quad\Longrightarrow\quad \sin z\,dz = -\,du.
Assim, a integral indefinida fica
\int \sin z\,\cos^{3}z\,dz = \int -u^{3}\,du = -\frac{u^{4}}{4} + C = -\frac{\cos^{4}z}{4} + C.

Passo 3

Agora avaliamos a primitiva -\tfrac{\cos^{4}z}{4} nos limites de z=\pi até z=0:
\left[-\frac{\cos^{4}z}{4}\right]_{\pi}^{0} = \Bigl(-\tfrac{\cos^{4}(0)}{4}\Bigr) - \Bigl(-\tfrac{\cos^{4}(\pi)}{4}\Bigr) = \Bigl(-\tfrac{1}{4}\Bigr) - \Bigl(-\tfrac{1}{4}\Bigr) = 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados