Problema 6: Projeto de Sensor Capacitivo (Empresa: Control Systems Tech)
Contexto: Um sensor de nível capacitivo em um tanque de óleo é projetado com dois eletrodos cilíndricos concêntricos de raio
(interno) e
(externo). O óleo tem permissividade
, e o ar acima dele tem
. A Lei de Gauss deve ser usada para modelar o campo.
a) Qualitativa: O que significa a integral de superfície
ser constante em um sistema com simetria cilíndrica? Como o Teorema da Divergência se aplica para mostrar que o campo elétrico
varia inversamente com a distância radial (
) nesta geometria, assumindo uma carga linear?
b) Quantitativa: Se u campo elétrico na interface do condutor interno (raio a) for
, determine a expressão para o campo
na região do óleo
. Considere
.
a) Qualitativa: O que significa a integral de superfície
b) Quantitativa: Se u campo elétrico na interface do condutor interno (raio a) for
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e dá os seguintes dados:
- Pedido (a) qualitativo: explicar o que significa a integral de superfície
ser constante em um sistema com simetria cilíndrica e mostrar (usando o Teorema da Divergência / Lei de Gauss) por que o campo elétrico varia como nesta geometria, assumindo que há uma carga linear no eixo. - Pedido (b) quantitativo: dado
no raio interno , encontrar a expressão de na região do óleo . Foi dada a permissividade do óleo . O ar acima tem . - Informação geométrica/assunções: eletrodos cilíndricos concêntricos (simetria cilíndrica), carga linear efetiva
ao longo do eixo (assumida), campo radial que depende só de .
Passo 2
Lembrando a Lei de Gauss no meio material (forma integral): para o vetor deslocamento elétrico
,
onde o lado direito é a carga livre total dentro da superfície fechada
. O enunciado fala que essa integral é “constante” quando mudamos a superfície coaxial (mantendo-a coaxial ao mesmo eixo): isso significa que, para qualquer superfície cilíndrica de raio
e comprimento
centrada no eixo, o fluxo total
tem o mesmo valor — exatamente a carga livre por comprimento vezes
. Fisicamente: toda a carga livre está no eixo (ou no condutor interno), então qualquer cilindro coaxial que englobe o eixo “vê” sempre a mesma carga; por isso o fluxo é independente do raio escolhido.
Passo 3
Agora vamos escrever a integral explicitamente para uma superfície cilíndrica coaxial de raio
e comprimento
. Pela simetria,
só tem componente radial
e é constante sobre a superfície lateral do cilindro. O fluxo pela superfície fechada tem três contribuições (duas tampas e a lateral), mas a contribuição relevante é a da lateral (nas tampas
é perpendicular ao elemento de área): assim
Pela Lei de Gauss isto deve ser igual à carga livre encerrada. Se a carga livre por unidade de comprimento é
, a carga encerrada por um cilindro de comprimento
é
. Portanto
Esta expressão mostra claramente que
. Como
no dielétrico (aqui
no óleo), segue que
ou seja,
. Isso é a demonstração direta a partir da forma integral de Gauss.
Passo 4
(Alternativa pelo Teorema da Divergência / forma diferencial, só para consolidar a intuição.) Em ausência de carga livre volumétrica na região do dielétrico,
. Em coordenadas cilíndricas, para um campo radial que depende só de
,
Integrando isso obtém-se
, logo
. Novamente, com
, obtemos
. As duas abordagens (integral via Gauss e diferencial via divergência) são equivalentes; a integral é mais direta em problemas com simetria e carga localizada.
Passo 5
Agora a parte prática: usar o dado
para achar
em
.
- Relacione
com :
- A partir da fórmula da Passo 3, a densidade de carga linear
pode ser escrita em termos de :
- Substituindo
na expressão geral de :
Note que
cancela nesta expressão porque estamos usando o valor de
conhecido em
como condição; entretanto
(a carga por comprimento) depende de
conforme mostrado no passo anterior.
Passo 6
Substituindo o valor numérico
, a expressão final para o campo na região do óleo
é
Verificação rápida: em
recupera-se
, e
decresce como
conforme esperado. A constante
foi usada para calcular
caso fosse necessário, mas não aparece no
quando a condição
é dada.
Resposta
(a) A integral
ser constante significa que qualquer superfície cilíndrica coaxial que envolva o eixo intercepta a mesma carga livre total — assim o fluxo de
não depende do raio escolhido. Aplicando a Lei de Gauss (ou o Teorema da Divergência) com simetria cilíndrica obtém-se
e, como
, segue
.
(b) para
.
(b)