Problema 6: Projeto de Sensor Capacitivo (Empresa: Control Systems Tech)
Contexto: Um sensor de nível capacitivo em um tanque de óleo é projetado com dois eletrodos cilíndricos concêntricos de raio a (interno) e b (externo). O óleo tem permissividade \epsilon_{1}, e o ar acima dele tem \epsilon_{0}. A Lei de Gauss deve ser usada para modelar o campo.
a) Qualitativa: O que significa a integral de superfície \oint_{S} \mathrm{D} \cdot d \mathbf{S} ser constante em um sistema com simetria cilíndrica? Como o Teorema da Divergência se aplica para mostrar que o campo elétrico \mathbf{E} varia inversamente com a distância radial ( 1 / r ) nesta geometria, assumindo uma carga linear?
b) Quantitativa: Se u campo elétrico na interface do condutor interno (raio a) for \mathrm{E}(a)=50 \mathrm{a}_{r} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, determine a expressão para o campo \mathbf{E} na região do óleo (a<r<b). Considere \epsilon_{1}=2,5 \epsilon_{0}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e dá os seguintes dados:
  • Pedido (a) qualitativo: explicar o que significa a integral de superfície \displaystyle \oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S} ser constante em um sistema com simetria cilíndrica e mostrar (usando o Teorema da Divergência / Lei de Gauss) por que o campo elétrico \mathbf{E} varia como 1/r nesta geometria, assumindo que há uma carga linear no eixo.
  • Pedido (b) quantitativo: dado \mathbf{E}(a)=50\,\mathbf{a}_r\\ \mathrm{V/m} no raio interno r=a, encontrar a expressão de \mathbf{E}(r) na região do óleo a<r<b. Foi dada a permissividade do óleo \epsilon_{1}=2{,}5\,\epsilon_{0}. O ar acima tem \epsilon_{0}.
  • Informação geométrica/assunções: eletrodos cilíndricos concêntricos (simetria cilíndrica), carga linear efetiva \lambda ao longo do eixo (assumida), campo radial \mathbf{E}=E_r(r)\,\mathbf{a}_r que depende só de r.

Passo 2

Lembrando a Lei de Gauss no meio material (forma integral): para o vetor deslocamento elétrico \mathbf{D},
\oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=Q_{\text{livre, encerrada}},
onde o lado direito é a carga livre total dentro da superfície fechada S. O enunciado fala que essa integral é “constante” quando mudamos a superfície coaxial (mantendo-a coaxial ao mesmo eixo): isso significa que, para qualquer superfície cilíndrica de raio r e comprimento L centrada no eixo, o fluxo total \oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S} tem o mesmo valor — exatamente a carga livre por comprimento vezes L. Fisicamente: toda a carga livre está no eixo (ou no condutor interno), então qualquer cilindro coaxial que englobe o eixo “vê” sempre a mesma carga; por isso o fluxo é independente do raio escolhido.

Passo 3

Agora vamos escrever a integral explicitamente para uma superfície cilíndrica coaxial de raio r e comprimento L. Pela simetria, \mathbf{D} só tem componente radial \mathbf{D}=D_r(r)\,\mathbf{a}_r e é constante sobre a superfície lateral do cilindro. O fluxo pela superfície fechada tem três contribuições (duas tampas e a lateral), mas a contribuição relevante é a da lateral (nas tampas \mathbf{D} é perpendicular ao elemento de área): assim
\oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=D_r(r)\cdot(2\pi r L).
Pela Lei de Gauss isto deve ser igual à carga livre encerrada. Se a carga livre por unidade de comprimento é \lambda, a carga encerrada por um cilindro de comprimento L é \lambda L. Portanto
D_r(r)\,(2\pi r L)=\lambda L \quad\Longrightarrow\quad D_r(r)=\frac{\lambda}{2\pi r}.
Esta expressão mostra claramente que D_r\propto 1/r. Como \mathbf{D}=\epsilon\,\mathbf{E} no dielétrico (aqui \epsilon=\epsilon_{1} no óleo), segue que
\mathbf{E}(r)=\frac{\mathbf{D}(r)}{\epsilon_{1}}=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{1}}\frac{1}{r}\,\mathbf{a}_r,
ou seja, \mathbf{E}\propto 1/r. Isso é a demonstração direta a partir da forma integral de Gauss.

Passo 4

(Alternativa pelo Teorema da Divergência / forma diferencial, só para consolidar a intuição.) Em ausência de carga livre volumétrica na região do dielétrico, \nabla\cdot\mathbf{D}=0. Em coordenadas cilíndricas, para um campo radial que depende só de r,
\nabla\cdot\mathbf{D}=\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\big(r D_r(r)\big)=0.
Integrando isso obtém-se r D_r(r)=\text{const}, logo D_r\propto 1/r. Novamente, com \mathbf{D}=\epsilon_{1}\mathbf{E}, obtemos \mathbf{E}\propto 1/r. As duas abordagens (integral via Gauss e diferencial via divergência) são equivalentes; a integral é mais direta em problemas com simetria e carga localizada.

Passo 5

Agora a parte prática: usar o dado \mathbf{E}(a)=50\,\mathbf{a}_r\\ \mathrm{V/m} para achar \mathbf{E}(r) em a<r<b.
  1. Relacione \mathbf{D}(a) com \mathbf{E}(a):
\mathbf{D}(a)=\epsilon_{1}\,\mathbf{E}(a).
  1. A partir da fórmula da Passo 3, a densidade de carga linear \lambda pode ser escrita em termos de \mathbf{D}(a):
\lambda=2\pi a\,D_r(a)=2\pi a\,\epsilon_{1}E(a).
  1. Substituindo \lambda na expressão geral de \mathbf{E}(r):
\mathbf{E}(r)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{1}}\frac{1}{r}\,\mathbf{a}_r =\frac{2\pi a\,\epsilon_{1}E(a)}{2\pi\epsilon_{1}}\frac{1}{r}\,\mathbf{a}_r =E(a)\,\frac{a}{r}\,\mathbf{a}_r.
Note que \epsilon_{1} cancela nesta expressão porque estamos usando o valor de \mathbf{E} conhecido em r=a como condição; entretanto \lambda (a carga por comprimento) depende de \epsilon_{1} conforme mostrado no passo anterior.

Passo 6

Substituindo o valor numérico E(a)=50\\ \mathrm{V/m}, a expressão final para o campo na região do óleo a<r<b é
\boxed{\mathbf{E}(r)=50\;\frac{a}{r}\;\mathbf{a}_r\\ \mathrm{V/m},\qquad a<r<b.}
Verificação rápida: em r=a recupera-se \mathbf{E}(a)=50\,\mathbf{a}_r, e \mathbf{E} decresce como 1/r conforme esperado. A constante \epsilon_{1}=2{,}5\,\epsilon_{0} foi usada para calcular \lambda caso fosse necessário, mas não aparece no \mathbf{E}(r) quando a condição \mathbf{E}(a) é dada.

Resposta

(a) A integral \displaystyle \oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S} ser constante significa que qualquer superfície cilíndrica coaxial que envolva o eixo intercepta a mesma carga livre total — assim o fluxo de \mathbf{D} não depende do raio escolhido. Aplicando a Lei de Gauss (ou o Teorema da Divergência) com simetria cilíndrica obtém-se D_{r}(r)=\dfrac{\lambda}{2\pi r} e, como \mathbf{D}=\epsilon\,\mathbf{E}, segue \mathbf{E}(r)\propto 1/r.
(b) \mathbf{E}(r)=50\,\dfrac{a}{r}\,\mathbf{a}_r\\ \mathrm{V/m} para a<r<b.

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