1. (Problema 9, cap. 6) Um bloco de 4,0 \mathrm{~kg} é empurrado em um piso horizontal por uma força de módulo 18 N que faz um ângulo \theta=35^{\circ} \mathrm{com} a horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o piso é 0,30 . Calcule (a) o módulo da força de atrito e (b) o módulo da aceleração do bloco.

Passo 1

O enunciado fornece um bloco sobre um piso horizontal e pede duas coisas:
  • (a) o módulo da força de atrito cinético;
  • (b) o módulo da aceleração do bloco.
Dados fornecidos (vou reescrever todos, para ficar claro):
m = 4,0\\ \mathrm{kg},\qquad F = 18\\ \mathrm{N},\qquad \theta = 35^\circ,\qquad \mu_k = 0,30.
Vou usar g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
Nada mais foi dito, então assumimos que o bloco desliza para a direita (a componente horizontal da força aplicada puxa para a direita) e que o atrito cinético age no sentido contrário ao movimento.

Passo 2

Identificar e desenhar mentalmente as forças (diagrama de corpo livre):
  • peso: \vec{W} = m\vec{g} apontando para baixo, magnitude |\vec{W}| = mg;
  • força aplicada: \vec{F} com módulo F formando ângulo \theta acima da horizontal; vamos decompor essa força em componentes horizontal e vertical;
  • normal da superfície: \vec{N} apontando para cima;
  • força de atrito cinético: \vec{f}_k, na direção horizontal e oposta ao movimento (magnitude f_k).
Explicação rápida (didática): como o piso é horizontal, as forças verticais (peso para baixo, componente vertical de \vec{F} para cima e normal para cima) se equilibram — não há aceleração vertical. Já na horizontal há a componente horizontal de \vec{F} tentando acelerar o bloco e o atrito atuando em sentido oposto; daí vem a aceleração horizontal.

Passo 3

Decomposição da força aplicada em componentes:
  • definição trigonométrica: em um triângulo retângulo, \cos\theta é a razão entre cateto adjacente e a hipotenusa, \sin\theta é a razão entre cateto oposto e a hipotenusa. Aqui a hipotenusa é F, o cateto adjacente é a componente horizontal e o cateto oposto é a componente vertical.
    Portanto:
F_x = F\cos\theta,\qquad F_y = F\sin\theta.
Agora calculamos numericamente (usando aproximações usuais para cosseno e seno de 35^\circ):
\cos35^\circ \approx 0,81915,\qquad \sin35^\circ \approx 0,57358.
Logo:
F_x = 18\cdot 0,81915 \approx 14,74\\ \mathrm{N},
F_y = 18\cdot 0,57358 \approx 10,32\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Cálculo da força normal N:
  • motivo: verticalmente não há aceleração, então a soma das forças verticais é zero.
    Equação vertical (positiva para cima):
N + F_y - mg = 0.
Isolando N:
N = mg - F_y.
Agora substituímos os valores:
mg = 4,0\cdot 9,8 = 39,2\\ \mathrm{N},
N = 39,2 - 10,32 \approx 28,88\\ \mathrm{N}.
Explicação didática: a componente vertical da força aplicada “alivia” parte do peso sobre a superfície, reduzindo a normal; se a força fosse para baixo, aumentaria a normal.

Passo 5

Cálculo da força de atrito cinético f_k:
  • fórmula fundamental (conceito): a força de atrito cinético tem módulo proporcional à normal e é dada por
f_k = \mu_k N,
onde \mu_k é o coeficiente de atrito cinético e N é a força normal. Isso é uma lei empírica simples que usamos em quase todos os problemas elementares de atrito.
Substituindo:
f_k = 0,30 \cdot 28,88 \approx 8,66\\ \mathrm{N}.
Observação: esse é o módulo (valor positivo). A direção seria oposta ao movimento (para a esquerda, no nosso diagrama).

Passo 6

Equação do movimento horizontal e cálculo da aceleração:
  • forças horizontais: F_x para a direita e f_k para a esquerda. Pela segunda lei de Newton, soma das forças horizontais = m a.
    Escolhendo positiva para a direita,
F_x - f_k = m a.
Isolando a:
a = \frac{F_x - f_k}{m}.
Substituindo os valores numéricos:
F_x - f_k \approx 14,74 - 8,66 = 6,08\\ \mathrm{N},
a \approx \frac{6,08}{4,0} = 1,52\\ \mathrm{m/s^2}.
Explicação didática: a aceleração é simplesmente a resultante das forças horizontais dividida pela massa; quanto maior a massa, menor a aceleração para uma dada força resultante.

Resposta

f_k \approx 8,66\\ \mathrm{N}
a \approx 1,52\\ \mathrm{m/s^2}

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