- (Problema 5, cap. 7) Em uma corrida, um pai tem metade da energia cinética do filho, que tem metade da massa do pai. Aumentando a velocidade em
, o pai passa a ter a mesma energia cinética do filho. Qual é a velocidade escalar inicial (a) do pai e (b) do filho?
Passo 1
Vamos descobrir exatamente o que o enunciado pede e quais dados nos dá.
-
Perguntas:
(a) Qual é a velocidade escalar inicial do pai?
(b) Qual é a velocidade escalar inicial do filho? -
Dados fornecidos (vou rotular para facilitar):
- O pai tem metade da energia cinética do filho inicialmente.
- O filho tem metade da massa do pai.
- Aumentando a velocidade do pai em
, o pai passa a ter a mesma energia cinética do filho.
-
Quantidades que vamos usar (a serem definidas no próximo passo): massas iniciais, velocidades iniciais e a fórmula da energia cinética.
Passo 2
Definindo variáveis e a fórmula física que vamos usar (explicação didática):
- Seja
a massa do pai e a massa do filho. O enunciado diz que o filho tem metade da massa do pai, portanto:
-
Seja
a velocidade escalar inicial do pai e a velocidade escalar inicial do filho (ambas positivas). Precisamos achar e . -
A energia cinética de um corpo de massa
que se move com velocidade é dada pela fórmula (essa é a parte teórica que sempre cai):
onde
é a energia cinética,
é a massa e
é a velocidade. Aqui
é o quadrado da velocidade.
Passo 3
Traduzindo as condições do enunciado em equações usando a fórmula da energia cinética:
- “O pai tem metade da energia cinética do filho” significa:
Usando
, escrevemos:
Expliquei: do lado direito substituí
e em seguida
.
Agora simplificamos essa igualdade: podemos cancelar
(não é zero) e também o fator
que aparece em ambos os lados? Cuidado: o lado direito tem
multiplicando
, então vamos fazer passo a passo:
Cancelando
dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar frações:
Reescrevendo de forma mais direta:
Tomando raiz positiva (velocidades são não negativas):
(Observação: eu obtive uma relação entre as velocidades iniciais. Essa relação vem apenas da condição “pai tem metade da energia cinética do filho” combinada com a relação de massas.)
Passo 4
Agora traduzimos a segunda condição: “Aumentando a velocidade do pai em
, o pai passa a ter a mesma energia cinética do filho.”
Isso significa:
onde
é a nova energia cinética do pai após o aumento de velocidade, e
é a energia cinética do filho (invariável).
Substituindo
obtemos:
Cancelamos
dos dois lados e simplificamos os fatores
:
Multiplicando ambos os lados por
para livrar das frações:
Passo 5
Agora usamos a relação obtida no Passo 3 (
) dentro da equação do Passo 4. Substituindo:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora vamos resolver essa equação. Expanda o quadrado do lado esquerdo:
Cálculos intermediários:
e
. Então:
Subtrai
dos dois lados:
Isolando
:
Esse resultado é negativo, mas velocidade escalar (módulo) não pode ser negativa no contexto do problema — significa que essa solução não é fisicamente admissível. Portanto precisamos verificar se houve perda de soluções ao simplificar antes. Voltamos um passo: ao cancelar termos
nos dois lados havíamos possivelmente eliminado soluções. Vamos resolver a equação original corretamente sem cancelar de forma precipitada.
Passo 6
Resolver corretamente a equação resultante do Passo 4 substituindo
de forma direta: lembrando que do Passo 3 obtivemos
. A equação do Passo 4 era:
Substituindo
dá:
Dividindo por
(válido) obtém-se:
Essa foi a mesma equação que resolvemos antes e produziu a solução
ao cancelar
. Mas o processo de “cancelar”
significa passar
para o outro lado e subtrair, o que nos dá uma equação quadrática alternativa que pode revelar outra raiz. Vamos reescrever a igualdade original sem simplificar supostamente perigoso: volte à forma do Passo 4 antes de dividir por
:
Do Passo 4 tínhamos
Do Passo 3 tínhamos
Igualando:
Agora vamos expandir a esquerda e levar tudo para um lado para obter a forma padrão da equação quadrática:
Distribuindo o
no lado esquerdo:
Agora subtraímos
de ambos os lados (agora sim, sem risco de perder a outra raiz porque não cancelamos antes de expandir):
Isolando
:
Obtivemos novamente a mesma solução negativa — então parece que a outra raiz não aparece porque realmente não existe outra solução desta forma. Mas vamos repensar: talvez, ao manipular as igualdades iniciais, cometemos um erro aritmético ao montar a relação entre
e
(Passo 3). Vou refazer com cuidado o Passo 3 (é normal ter que revisar: isso faz parte do estudo).
Passo 7
Revisão detalhada do Passo 3 (evitar erro ao cancelar fatores): começando de
mas lembrando que
e
. Então:
Agora dividimos ambos os lados por
(não zero):
Multiplicando ambos os lados por
:
Portanto:
Esse é o resultado correto e consistente. (Antes eu tinha uma relação diferente por erro de cancelamento; agora está corrigido.)
Passo 8
Use a relação correta
na equação de igualdade de energias após o aumento de velocidade:
A condição pós-aumento é (Passo 4 reescrito):
Cancelando
e multiplicando por
:
Substituindo
:
Dividindo por
:
Agora, em vez de simplesmente cancelar
, vamos rearranjar corretamente expandindo um dos lados e formando uma quadrática padrão:
Expansão:
Subtraindo
de ambos os lados:
Isolando:
Encontramos apenas essa raiz, que é negativa. Isso indica que nossa hipótese matemática levou a uma única solução que é fisicamente inadmissível (velocidade negativa). Então precisamos reconsiderar se fizemos a tradução correta da condição inicial “o pai tem metade da energia cinética do filho”. Há duas interpretações possíveis dessa frase em português coloquial: (i) “o pai tem metade da energia cinética do filho” interpretada como
(o que usamos), ou (ii) poderia significar que a energia cinética do filho é o dobro da do pai, que é a mesma interpretação (mesma equação). A tradução está correta. Logo, a única possibilidade é que eu tenha cometido um erro algébrico ao combinar as duas condições. Vamos voltar ao sistema original e resolver sem eliminar passos prematuramente: escrever o sistema e resolver simbolicamente.
Passo 9
Montando o sistema original completo e resolvendo como equações independentes:
Equação (I) — condição inicial de energias:
Mas o enunciado diz que o pai tem metade da energia do filho, logo:
Conforme já fizemos, isso leva a:
(Aqui note: na primeira vez eu derivei
, agora está dando
. Precisamos verificar esse ponto crucial. Vou refazer com atenção máxima:)
Refazendo desde o começo, sem pular: escrito literal da frase “um pai tem metade da energia cinética do filho” significa:
Substituindo
e
:
Simplificando o lado direito:
Agora cancelando
:
Multiplicando por 4:
Portanto a relação correta é
(Confirmação: a relação correta é a do Passo 7/8. A aparente mudança para
foi um erro de escrita no início deste passo. Vamos continuar com
.)
Agora equação (II) — condição após o aumento:
Substituindo
e simplificando:
Cancelando
e multiplicando por
:
Substituindo
obtém-se:
Da igualdade
segue que
Aplicando a identidade de diferença de quadrados:
Primeiro fator simplifica:
Portanto as soluções são dadas por
(impossível) ou
. A única solução possível então é
Isso confirma que a única raiz algébrica é negativa.
Passo 10
Conclusão e interpretação física: chegamos a uma única solução matemática
, que não faz sentido físico porque velocidades escalares iniciais devem ser não negativas. Portanto concluímos que a interpretação direta das frases como montamos as equações produz uma contradição física — ou seja, não existe solução física com ambas as condições como foram entendidas.
Mas como o enunciado do problema é clássico, a causa provável é que, ao ler “um pai tem metade da energia cinética do filho”, o correto é interpretar que “o pai tem metade da energia cinética do filho” significa
, como fizemos; dado que isso leva a solução negativa, a alternativa é que a frase possa ter sido escrita originalmente com ordem trocada. Se invertêssemos a afirmação (isto é, se o pai tivesse o dobro da energia cinética do filho inicialmente), teríamos
e o sistema produziria soluções positivas. Vamos resolver rapidamente essa versão alternativa (porque provavelmente é o que o autor do problema quis):
Versão alternativa (hipótese razoável): inicialmente
. Repetindo os passos essenciais:
-
com dá
portanto
- Após o pai aumentar em
, temos
Cancelando
e substituindo
:
Expande e resolve a quadrática:
Multiplicando por
:
Discriminante:
Soluções:
Apenas a raiz positiva é
mas isso dá um número negativo (pois
e
). Logo mesmo essa interpretação alternativa não deu solução física positiva. Portanto a única conclusão segura é: a formulação dada (literal) não admite velocidades iniciais positivas — provavelmente há um erro de enunciado ou falta de informação. Pelo enunciado original que você me passou, não existe solução física com velocidades não negativas.
Resposta
Não há solução física com velocidades iniciais não negativas para as condições dadas no enunciado.