1. (Problema 8) Um objeto de 2,50 \mathrm{~kg} está sujeito a três forças, que imprimem ao objeto uma aceleração a=(-7,00 \mathrm{i}+5,00 \mathrm{j}) \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}. Se duas das forças são F1 =(28,0 \mathrm{i}+14,0 \mathrm{j}) \mathrm{N} e F2 =(-10,0 \mathrm{i}+6,00 \mathrm{j}) \mathrm{N}, determine a terceira força.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a terceira força:
  • massa do objeto: m = 2,50\\ \mathrm{kg}.
  • aceleração do objeto: \vec a = (-7,00\,\mathbf{i} + 5,00\,\mathbf{j})\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • duas forças aplicadas: \vec F_1 = (28,0\,\mathbf{i} + 14,0\,\mathbf{j})\\ \mathrm{N} e \vec F_2 = (-10,0\,\mathbf{i} + 6,00\,\mathbf{j})\\ \mathrm{N}.
    Pergunta: determinar a terceira força \vec F_3.

Passo 2

Vamos usar a relação que liga forças e aceleração (escrevo a fórmula e explico cada símbolo):
\sum \vec F = m\,\vec a.
Aqui \sum \vec F é a soma vetorial de todas as forças aplicadas no objeto (ou seja \vec F_1+\vec F_2+\vec F_3), m é a massa e \vec a é a aceleração. A ideia: a soma vetorial das três forças tem que ser igual a m\vec a.

Passo 3

Isolando \vec F_3 na equação dá:
\vec F_1+\vec F_2+\vec F_3 = m\vec a
\Rightarrow \vec F_3 = m\vec a - \vec F_1 - \vec F_2.
Explicação útil: como estamos trabalhando com vetores em duas dimensões, tudo se faz componente a componente. Se \vec v=(v_x\mathbf{i}+v_y\mathbf{j}) e \vec w=(w_x\mathbf{i}+w_y\mathbf{j}), então \vec v+\vec w=(v_x+w_x)\mathbf{i}+(v_y+w_y)\mathbf{j}. Multiplicar um vetor por escalar c significa multiplicar cada componente: c\vec v=(c v_x)\mathbf{i}+(c v_y)\mathbf{j}.

Passo 4

Calculo m\vec a fazendo multiplicação escalar componente a componente:
m\vec a = 2,50\;(-7,00\,\mathbf{i} + 5,00\,\mathbf{j})
= (2,50\cdot(-7,00))\,\mathbf{i} + (2,50\cdot5,00)\,\mathbf{j}
Agora as contas detalhadas: 2,50\cdot(-7,00)=-17,50 e 2,50\cdot5,00=12,50. Logo
m\vec a = (-17,50\,\mathbf{i} + 12,50\,\mathbf{j})\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Calculo \vec F_1+\vec F_2 somando componentes correspondentes:
\vec F_1+\vec F_2 = (28,0+(-10,0))\,\mathbf{i} + (14,0+6,00)\,\mathbf{j}
= (18,0\,\mathbf{i} + 20,0\,\mathbf{j})\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Agora aplico a fórmula \vec F_3 = m\vec a - \vec F_1 - \vec F_2, fazendo as subtrações componente a componente:
\vec F_3 = (-17,50\,\mathbf{i} + 12,50\,\mathbf{j}) - (18,0\,\mathbf{i} + 20,0\,\mathbf{j})
= (-17,50-18,0)\,\mathbf{i} + (12,50-20,0)\,\mathbf{j}.
Calculemos cada diferença: -17,50-18,0=-35,50 e 12,50-20,0=-7,50. Portanto
\vec F_3 = (-35,50\,\mathbf{i} - 7,50\,\mathbf{j})\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Checagem rápida (para ganhar confiança): some \vec F_1+\vec F_2+\vec F_3:
(18,0\,\mathbf{i}+20,0\,\mathbf{j}) + (-35,50\,\mathbf{i}-7,50\,\mathbf{j}) = (-17,50\,\mathbf{i}+12,50\,\mathbf{j}) = m\vec a,
ou seja bate com o m\vec a calculado antes. Tudo consistente — ótimo!

Resposta

(-35,50\,\mathbf{i} - 7,50\,\mathbf{j})\\ \mathrm{N}

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