(Problema 4, cap. 1, Termodinâmica, M. J. de Oliveira) Suponha que um gás ideal sofra uma expansão quaseestática adiabática a partir de um estado de referência (
) no diagrama de Clapeyron. Ao longo da adiabática o calor trocado é nulo, de modo que o trabalho W realizado pelo gás até um ponto genérico (
) é igual à variação da energia
, ou seja,
Use essa equação para determinar a equação da curva adiabática que passa pelo ponto de referência. (Sugestão:
derive ambos os membros dessa equação com relação a
para encontrar uma equação diferencial para
.)
derive ambos os membros dessa equação com relação a
Passo 1
O enunciado descreve um gás ideal que sofre uma expansão quaseestática adiabática partindo de
. A relação dada pela primeira lei é
Queremos encontrar a equação da curva adiabática
. Para isso vamos derivar ambos os lados em relação a
e obter uma equação diferencial.
Passo 2
Derivando em relação a
a igualdade
temos, pelo teorema fundamental do cálculo, no lado esquerdo
e no lado direito, usando derivada de produto,
Logo a equação diferencial é
Passo 3
Reescrevendo
levamos o termo em
para um lado e os demais para o outro:
Isolando
resulta
Passo 4
Separamos variáveis e integramos:
Elevando à exponencial, obtemos
Passo 5
Para determinar a constante usamos a condição inicial
:
Substituindo de volta, a curva adiabática é
Resposta
A equação da curva adiabática que passa por
é
ou equivalentemente