(Problema 3, cap. 1, Termodinâmica, M. J. de Oliveira) Para um determinado gás a energia interna U depende do volume e da pressão de acordo \operatorname{com} U=\frac{3}{2} p V.
(a) Determine o trabalho W_{A \rightarrow B} realizado pelo gás quando ele é expandido de um estado A até um estado B, sendo que A e B pertencem a uma mesma adiabática. (b) Determine o calor Q_{B \rightarrow C} recebido pelo gás quando ele sofre um processo isocórico do estado B até um estado C tal que C tenha a mesma energia que A. Suponha agora que o gás sofra um processo que o leve de A até C por um processo quase-estático a energia constante. (c) Determine o trabalho W_{A \rightarrow C} e o calor Q_{A \rightarrow C} ao longo desse processo sabendo que p V=p_{A} V_{A}=c t e.

Passo 1

O enunciado diz que para um certo gás
U = \tfrac{3}{2}\,pV
e pede:
(a) o trabalho W_{A\to B} numa expansão adiabática de A a B;
(b) o calor Q_{B\to C} numa transformação isocórica de B a C, onde C tem a mesma energia que A;
(c) se o gás vai de A a C por um processo quase-estático a energia constante e satisfaz pV = p_A V_A, determinar W_{A\to C} e Q_{A\to C}.
Conteúdo: primeira lei da termodinâmica, processos adiabático, isocórico e isoterma (energia constante).

Passo 2

Para o processo adiabático A\to B vale \delta Q=0. A primeira lei é
\mathrm{d}U = \delta Q - \delta W \;\Longrightarrow\; \mathrm{d}U = -\delta W.
Integrando de A a B,
W_{A\to B} = -\bigl(U_B - U_A\bigr).
Como
U_B - U_A = \tfrac{3}{2}\bigl(p_B V_B - p_A V_A\bigr),
segue
W_{A\to B} = \tfrac{3}{2}\,\bigl(p_A V_A - p_B V_B\bigr).

Passo 3

No processo isocórico B\to C temos W=0, logo Q = \Delta U. Mas o enunciado diz que U_C = U_A. Então
Q_{B\to C} = U_C - U_B = U_A - U_B = \tfrac{3}{2}\,\bigl(p_A V_A - p_B V_B\bigr).

Passo 4

Para o processo A\to C de energia constante vale \Delta U=0, de modo que da primeira lei
0 = Q_{A\to C} - W_{A\to C} \quad\Longrightarrow\quad Q_{A\to C} = W_{A\to C}.
Como pV = p_A V_A é constante,
W_{A\to C} = \int_{V_A}^{V_C} p\,\mathrm{d}V = p_A V_A \int_{V_A}^{V_C}\frac{\mathrm{d}V}{V} = p_A V_A \ln\frac{V_C}{V_A}.
Além disso, de U_C=U_A segue p_C V_C=p_A V_A, então \tfrac{V_C}{V_A}=\tfrac{p_A}{p_C}. Portanto
W_{A\to C} = p_A V_A \ln\frac{p_A}{p_C}, \quad Q_{A\to C} = p_A V_A \ln\frac{p_A}{p_C}.

Resposta

(a) W_{A\to B} = \tfrac{3}{2}\,\bigl(p_A V_A - p_B V_B\bigr).
(b) Q_{B\to C} = \tfrac{3}{2}\,\bigl(p_A V_A - p_B V_B\bigr).
(c) W_{A\to C} = p_A V_A \ln\!\tfrac{p_A}{p_C},\quad Q_{A\to C} = p_A V_A \ln\!\tfrac{p_A}{p_C}.

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