(Problema 4, cap. 1, Termodinâmica, M. J. de Oliveira) Suponha que um gás ideal sofra uma expansão quaseestática adiabática a partir de um estado de referência ( p_{0}, V_{0} ) no diagrama de Clapeyron. Ao longo da adiabática o calor trocado é nulo, de modo que o trabalho W realizado pelo gás até um ponto genérico ( p, V ) é igual à variação da energia \Delta U, ou seja,
-\int_{V_{0}}^{V} p d V=\frac{3}{2} p V-\frac{3}{2} p_{0} V_{0}
Use essa equação para determinar a equação da curva adiabática que passa pelo ponto de referência. (Sugestão:
derive ambos os membros dessa equação com relação a V para encontrar uma equação diferencial para p(V).)

Passo 1

O enunciado descreve um gás ideal que sofre uma expansão quaseestática adiabática partindo de (p_{0},V_{0}). A relação dada pela primeira lei é
-\int_{V_{0}}^{V}p\,dV \;=\;\frac{3}{2}pV-\frac{3}{2}p_{0}V_{0}.
Queremos encontrar a equação da curva adiabática p(V). Para isso vamos derivar ambos os lados em relação a V e obter uma equação diferencial.

Passo 2

Derivando em relação a V a igualdade
-\int_{V_{0}}^{V}p\,dV = \frac{3}{2}pV-\frac{3}{2}p_{0}V_{0}
temos, pelo teorema fundamental do cálculo, no lado esquerdo
\frac{d}{dV}\Bigl(-\!\int_{V_{0}}^{V}p\,dV\Bigr) = -\,p(V),
e no lado direito, usando derivada de produto,
\frac{d}{dV}\Bigl(\tfrac{3}{2}pV\Bigr) = \frac{3}{2}\bigl(p + V\,\tfrac{dp}{dV}\bigr).
Logo a equação diferencial é
-p = \frac{3}{2}\bigl(p + V\,\tfrac{dp}{dV}\bigr).

Passo 3

Reescrevendo
-p = \frac{3}{2}p + \frac{3}{2}V\frac{dp}{dV}
levamos o termo em dp/dV para um lado e os demais para o outro:
\frac{3}{2}V\frac{dp}{dV} = -p - \frac{3}{2}p = -\frac{5}{2}p.
Isolando \frac{dp}{dV} resulta
V\frac{dp}{dV} = -\frac{5}{3}\,p.

Passo 4

Separamos variáveis e integramos:
\frac{dp}{p} = -\frac{5}{3}\,\frac{dV}{V} \quad\Longrightarrow\quad \int\frac{dp}{p} = -\frac{5}{3}\int\frac{dV}{V} \quad\Longrightarrow\quad \ln p = -\frac{5}{3}\ln V + C.
Elevando à exponencial, obtemos
p\,V^{5/3} = e^{C} = \text{constante}.

Passo 5

Para determinar a constante usamos a condição inicial (p_{0},V_{0}):
p_{0}\,V_{0}^{5/3} = e^{C}.
Substituindo de volta, a curva adiabática é
p\,V^{5/3} = p_{0}\,V_{0}^{5/3} \quad\Longrightarrow\quad p = p_{0}\Bigl(\frac{V_{0}}{V}\Bigr)^{5/3}.

Resposta

A equação da curva adiabática que passa por (p_{0},V_{0}) é
p\,V^{5/3} = p_{0}\,V_{0}^{5/3},
ou equivalentemente
p = p_{0}\Bigl(\frac{V_{0}}{V}\Bigr)^{5/3}.

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