Problema 5.1 Um capacitor esférico tem um raio interno de 5 cm e um raio externo de 6 cm . Com ar entre as esferas, o capacitor é conectado a uma bateria de 12 Ve pode carregar totalmente. Com a bateria ainda conectada, óleo (
) é despejado, enchendo o volume entre as esferas. Calcule o trabalho adicional realizado pela bateria ao longo do processo de enchimento do capacitor com óleo.
Passo 1
O enunciado descreve um capacitor esférico formado por duas cascas concêntricas de raios internos
e externos
, inicialmente com ar
entre as cascas e conectado a uma bateria de
. Em seguida, sem desligar a bateria, despeja-se óleo com constante dielétrica
até preencher todo o espaço entre as esferas. A tarefa é calcular o trabalho extra que a bateria realiza durante esse processo. Para isso, vamos usar (1) a fórmula da capacitância de um capacitor esférico, (2) a relação da energia de um capacitor ligado a uma fonte de tensão constante e (3) o fato de que, com
constante, o trabalho da bateria é a variação da energia armazenada.
Passo 2
A capacitância inicial com dielétrico de permissividade
(ar) é
Convertendo
e
,
Passo 3
Quando o óleo de constante
preenche totalmente a região, a nova capacitância é
Como a bateria mantém
constante, a energia armazenada varia de
O trabalho adicional da bateria é
Passo 4
Substituindo
,
e
,
Resposta
O trabalho adicional realizado pela bateria vale aproximadamente