Exercício 5.3 Quando uma placa dielétrica preenche completamente o espaço entre as placas de um capacitor de placa paralela, a magnitude da carga ligada é um quarto da magnitude da carga livre. (a) Qual é a constante dielétrica do material de que a placa é feita? (b) Se a placa não preenche o espaço entre as placas, mas em vez disso tem uma largura igual à metade da distância entre as placas, a magnitude da carga limitada muda? Se sim, como? Considere duas configurações, um capacitor isolado e um capacitor ligado a uma bateria que gera uma diferença de potencial constante.
Passo 1
O enunciado trata de um capacitor de placas paralelas com dielétrico. Quando o dielétrico preenche todo o espaço entre as placas, a carga ligada (carga ligada = carga ligada nos polos do dielétrico, chamada aqui de carga «limitada» ou «bound charge») tem magnitude igual a um quarto da carga livre
nas placas. Precisamos (a) determinar a constante dielétrica
desse material e (b) estudar o que ocorre com a carga ligada se o dielétrico ocupar apenas metade da distância entre as placas, em dois casos: capacitor isolado (carga livre fixa) e capacitor ligado a bateria (diferença de potencial fixa).
Passo 2
Em eletrostática de dielétricos, a densidade de carga ligada superficial
na interface placa–dielétrico ou dielétrico–vácuo satisfaz
e, usando
e
, resulta
Em termos de cargas totais,
Passo 3
Como no caso de preenchimento total a carga ligada vale
, igualamos
Passo 4
Agora suponha o dielétrico ocupando só metade da distância entre as placas (espessura
num capacitor de separação total
).
Caso 1: capacitor isolado ( fixo).
Em situações de dielétrico em série com vácuo, a densidade continua sendo
em toda a região, e dentro do dielétrico
Caso 1: capacitor isolado (
Em situações de dielétrico em série com vácuo, a densidade
Como
é o mesmo, a carga ligada
não muda quando variamos a espessura do dielétrico.
Passo 5
Caso 2: capacitor ligado à bateria (
fixo).
A capacitância muda quando só metade do espaço é preenchida:
A capacitância muda quando só metade do espaço é preenchida:
Então a carga livre passa a ser
e a carga ligada fica
Como
,
e portanto
. Ou seja, a carga ligada diminui em proporção à nova capacitância, mas mantém a mesma fração
da carga livre.
Resposta
(a)
(b) Se o capacitor estiver isolado ( fixo), a carga ligada não muda; se estiver ligado a bateria (
fixo), a carga ligada diminui proporcionalmente à redução da capacitância quando o dielétrico ocupa só metade do espaço.
(b) Se o capacitor estiver isolado (