Suponha que |f(x)-f(1)| \leq x^{2}-1, \forall x. Prove que f é contínua em 1 .

Passo 1

O enunciado (corrigido para garantir que o membro direito seja não negativo) nos dá a desigualdade
|f(x)-f(1)| \le |x^{2}-1|,\qquad \forall x.
O que se pede: provar que f é contínua em 1. Em linguagem precisa, devemos mostrar que
\lim_{x\to 1} f(x)=f(1),
ou, usando a definição \varepsilon- \delta: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se |x-1|<\delta, então |f(x)-f(1)|<\varepsilon.

Passo 2

Relembre a fatoração básica de polinômios que vamos usar: x^{2}-1 é uma diferença de quadrados, portanto
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Tomando valores absolutos obtemos a identidade
|x^{2}-1|=|x-1|\,|x+1|.
Isto transforma a desigualdade dada em uma forma que envolve o fator |x-1|, que é o que aparece na definição de continuidade em 1.

Passo 3

Usando a desigualdade fornecida e a fatoração com módulo, para todo x vale
|f(x)-f(1)| \le |x^{2}-1| = |x-1|\,|x+1|.
Portanto controlar |f(x)-f(1)| pode ser feito controlando |x-1| e um fator extra |x+1|.

Passo 4

Vamos tornar |x+1| uniformemente limitado quando x está próximo de 1. Se escolhermos \delta\le 1 então, sempre que |x-1|<\delta\le 1, temos
-1< x-1<1 \quad\Rightarrow\quad 0< x<2,
então
|x+1|<3.
Assim, para todo x com |x-1|<1 obtemos a estimativa simples
|f(x)-f(1)| \le |x-1|\,|x+1| < 3|x-1|.

Passo 5

Agora aplicamos a técnica \varepsilon- \delta. Seja \varepsilon>0 qualquer. Escolhemos
\delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{3}\right\}.
Então, se |x-1|<\delta temos simultaneamente |x-1|<1 (logo a estimativa do passo anterior vale) e
|f(x)-f(1)| < 3|x-1| < 3\delta \le 3\cdot\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon.
Isso mostra exatamente a condição da definição de continuidade em 1: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (o \delta escolhido acima) tal que |x-1|<\delta implica |f(x)-f(1)|<\varepsilon.

Passo 6

Concluímos, pela definição \varepsilon- \delta, que
\lim_{x\to 1} f(x)=f(1),
ou seja, f é contínua em 1.

Resposta

f é contínua em 1.

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