Suponha que
. Prove que
é contínua em 1 .
Passo 1
O enunciado (corrigido para garantir que o membro direito seja não negativo) nos dá a desigualdade
O que se pede: provar que
é contínua em
. Em linguagem precisa, devemos mostrar que
ou, usando a definição
-
: para todo
existe
tal que, se
, então
.
Passo 2
Relembre a fatoração básica de polinômios que vamos usar:
é uma diferença de quadrados, portanto
Tomando valores absolutos obtemos a identidade
Isto transforma a desigualdade dada em uma forma que envolve o fator
, que é o que aparece na definição de continuidade em
.
Passo 3
Usando a desigualdade fornecida e a fatoração com módulo, para todo
vale
Portanto controlar
pode ser feito controlando
e um fator extra
.
Passo 4
Vamos tornar
uniformemente limitado quando
está próximo de
. Se escolhermos
então, sempre que
, temos
então
Assim, para todo
com
obtemos a estimativa simples
Passo 5
Agora aplicamos a técnica
-
. Seja
qualquer. Escolhemos
Então, se
temos simultaneamente
(logo a estimativa do passo anterior vale) e
Isso mostra exatamente a condição da definição de continuidade em
: para todo
existe
(o
escolhido acima) tal que
implica
.
Passo 6
Concluímos, pela definição
-
, que
ou seja,
é contínua em
.