Problema 5 Caracterize as bifurcações dos seguintes sistemas dinâmicos com relação à variação do parâmetro
:
$ \dot{x}=μ x+cos x$
$ \dot{x}=μ x+cos x$
Passo 1
O enunciado pede para caracterizar as bifurcações do sistema unidimensional
à medida que o parâmetro
varia. O conteúdo envolve análise de pontos de equilíbrio em um ODE de uma variável e identificação de quando ocorrem mudanças na quantidade ou estabilidade desses equilíbrios.
Passo 2
Para achar os pontos de equilíbrio, igualamos
. Então precisamos resolver
Passo 3
Essa equação implícita define soluções
em função de
. Como não há solução em
(pois
), consideramos
e escrevemos
Passo 4
O próximo passo é estudar a estabilidade de cada equilíbrio. Para isso calculamos
Passo 5
Um ponto de equilíbrio
é estável se
e instável se
.
Passo 6
Bifurcações de ponto de sela-nó ocorrem quando um par de equilíbrios aparece ou desaparece, isto é, quando além de
também temos degenerescência
. Assim juntamos
Passo 7
Eliminando
chegamos à condição
Passo 8
Sejam
as infinitas raízes dessa equação. Em cada
ocorre uma bifurcação saddle-node para
Passo 9
Em torno de cada
surgem ou se anulam dois equilíbrios (um estável e um instável). Não ocorrem outros tipos de bifurcação neste sistema.
Portanto, o sistema apresenta uma infinidade de bifurcações do tipo ponto de sela-nó nos valores de parâmetro
Portanto, o sistema apresenta uma infinidade de bifurcações do tipo ponto de sela-nó nos valores de parâmetro
Resposta
Existem infinitas bifurcações saddle-node ocorrendo em
, onde cada
satisfaz
. Em cada
aparece (ou some) um par de equilíbrios, um estável e outro instável.