Problema 5 Caracterize as bifurcações dos seguintes sistemas dinâmicos com relação à variação do parâmetro μ :
$ \dot{x}=μ x+cos x$

Passo 1

O enunciado pede para caracterizar as bifurcações do sistema unidimensional dotx=μ x+cos x à medida que o parâmetro μ varia. O conteúdo envolve análise de pontos de equilíbrio em um ODE de uma variável e identificação de quando ocorrem mudanças na quantidade ou estabilidade desses equilíbrios.

Passo 2

Para achar os pontos de equilíbrio, igualamos dotx=0. Então precisamos resolver
μx+cos x=0

Passo 3

Essa equação implícita define soluções x^* em função de μ. Como não há solução em x=0 (pois cos0=1), consideramos xneq0 e escrevemos
μ=-cos xx

Passo 4

O próximo passo é estudar a estabilidade de cada equilíbrio. Para isso calculamos
f'(x)=ddx(μx+cos x)=μ-sin x

Passo 5

Um ponto de equilíbrio x^* é estável se f'(x^*)<0 e instável se f'(x^*)>0.

Passo 6

Bifurcações de ponto de sela-nó ocorrem quando um par de equilíbrios aparece ou desaparece, isto é, quando além de f(x)=0 também temos degenerescência f'(x)=0. Assim juntamos
μx+cos x=0, μ-sin x=0

Passo 7

Eliminando μ chegamos à condição
xsin x+cos x=0, que reescreve-se como
xtan x=-1

Passo 8

Sejam xn as infinitas raízes dessa equação. Em cada xn ocorre uma bifurcação saddle-node para
μn=-cos xnxn

Passo 9

Em torno de cada μn surgem ou se anulam dois equilíbrios (um estável e um instável). Não ocorrem outros tipos de bifurcação neste sistema.
Portanto, o sistema apresenta uma infinidade de bifurcações do tipo ponto de sela-nó nos valores de parâmetro
μn=-cos xnxn, com xn resolvendo xntan xn=-1.

Resposta

Existem infinitas bifurcações saddle-node ocorrendo em μn=-tfraccos xnxn, onde cada xn satisfaz xntan xn=-1. Em cada μn aparece (ou some) um par de equilíbrios, um estável e outro instável.

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