Questão 1 - Calcule a Transformada de Fourier em Tempo Discreto para as sequências a seguir
x[n]=\operatorname{sen}[3 \pi n / 10]-\cos [7 \pi n / 10];

Passo 1

O enunciado pede a Transformada de Fourier em Tempo Discreto (DTFT) da sequência
x[n] = \sin\!\bigl(3\pi n/10\bigr)\;-\;\cos\!\bigl(7\pi n/10\bigr).
O que vamos precisar:
  1. A definição da DTFT:
X(e^{j\omega}) \;=\;\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,e^{-j\omega n}.
  1. As expressões em termos de exponenciais das funções seno e cosseno.
  2. O par de transformada DTFT de e^{j\Omega_0 n}, que é
\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{j\Omega_0 n}e^{-j\omega n} =2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta\bigl(\omega-\Omega_0+2\pi k\bigr).

Passo 2

Reescrevemos o termo \sin\!\bigl(3\pi n/10\bigr) como exponenciais:
\sin\!\bigl(\Omega_1 n\bigr) =\frac{1}{2j}\Bigl(e^{j\Omega_1 n}-e^{-j\Omega_1 n}\Bigr), \quad \text{com }\Omega_1=\frac{3\pi}{10}.

Passo 3

Aplicando a DTFT em cada exponencial do seno, usamos
\sum_{n}e^{\pm j\Omega_1 n}e^{-j\omega n} =2\pi\sum_{k}\delta\bigl(\omega\mp\Omega_1+2\pi k\bigr).
Logo, a DTFT do seno é
X_1(e^{j\omega}) =\frac{1}{2j}\,2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}\Bigl[ \delta\bigl(\omega-\Omega_1+2\pi k\bigr) -\delta\bigl(\omega+\Omega_1+2\pi k\bigr) \Bigr] =\frac{\pi}{j}\sum_{k}\Bigl[ \delta(\omega-\Omega_1+2\pi k) -\delta(\omega+\Omega_1+2\pi k) \Bigr].

Passo 4

Reescrevemos o termo \cos\!\bigl(7\pi n/10\bigr) como exponenciais:
\cos\!\bigl(\Omega_2 n\bigr) =\frac{1}{2}\Bigl(e^{j\Omega_2 n}+e^{-j\Omega_2 n}\Bigr), \quad \text{com }\Omega_2=\frac{7\pi}{10}.

Passo 5

Aplicando a DTFT nas exponenciais do cosseno, obtemos
X_2(e^{j\omega}) =\frac{1}{2}\,2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}\Bigl[ \delta(\omega-\Omega_2+2\pi k) +\delta(\omega+\Omega_2+2\pi k) \Bigr] =\pi\sum_{k}\Bigl[ \delta(\omega-\Omega_2+2\pi k) +\delta(\omega+\Omega_2+2\pi k) \Bigr].

Passo 6

Como x[n]=\sin(3\pi n/10)-\cos(7\pi n/10), a DTFT total é
X(e^{j\omega}) = X_1(e^{j\omega}) \;-\; X_2(e^{j\omega}).

Resposta

\boxed{ X(e^{j\omega}) =\sum_{k=-\infty}^{\infty}\Biggl\{ \frac{\pi}{j}\Bigl[ \delta(\omega-\tfrac{3\pi}{10}+2\pi k) -\delta(\omega+\tfrac{3\pi}{10}+2\pi k) \Bigr] \;-\; \pi\Bigl[ \delta(\omega-\tfrac{7\pi}{10}+2\pi k) +\delta(\omega+\tfrac{7\pi}{10}+2\pi k) \Bigr] \Biggr\}. }

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