QUESTÃO 2 (6 pontos): O vagão A tem 3500 kg e o vagão B tem 8000 kg e são conectados por uma mola de rigidez
. O conjunto está descendo a ladeira quando os freios do vagão B são acionados, fazendo deslizar as quatro rodas. O coeficiente de atrito entre as rodas e os trilhos é 0,4. Despreze a massa das rodas. Considere
. Após o acionamento dos freios:
a) Desenhe o diagrama de corpo livre dos dois vagões;
b) Calcule a aceleração do conjunto;
c) Calcule a deflexão da mola.
a) Desenhe o diagrama de corpo livre dos dois vagões;
b) Calcule a aceleração do conjunto;
c) Calcule a deflexão da mola.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
Dados fornecidos:
- Massa do vagão A:
. - Massa do vagão B:
. - Rigidez da mola:
. - Coeficiente de atrito entre rodas e trilhos:
. - Aceleração da gravidade:
. - O conjunto desce uma ladeira com ângulo
em relação à horizontal (o enunciado não dá ; portanto as respostas serão em função de ). - Os freios de B são acionados e as quatro rodas de B deslizam (logo, para B vale atrito cinético
). Desprezar massa das rodas.
O enunciado pede, após o acionamento dos freios:
(a) desenhar o diagrama de corpo livre (DCL) dos dois vagões;
(b) calcular a aceleração do conjunto;
(c) calcular a deflexão (extensão) da mola.
(a) desenhar o diagrama de corpo livre (DCL) dos dois vagões;
(b) calcular a aceleração do conjunto;
(c) calcular a deflexão (extensão) da mola.
Passo 2
Descrevendo os diagramas de corpo livre (DCL) — isto é o pedido (a). Vou explicar e listar as forças que aparecem em cada vagão (isto serve como “desenho” em palavras, porque aqui não posso desenhar graficamente).
Escolho como eixo positivo a direção para baixo da rampa (sentido do movimento). Para ambos os vagões as forças importantes são:
Vagão A (massa
):
- Peso:
apontando vertical para baixo. - Sua componente paralela à rampa (para baixo da rampa):
. - Sua componente normal (perpendicular à rampa):
.
- Sua componente paralela à rampa (para baixo da rampa):
- Força da mola (tensão)
: atua puxando o vagão A para cima da rampa (pois a mola está sendo esticada), ou seja, na direção oposta ao movimento. Assim, na equação do movimento ao longo da rampa terá sinal negativo para A. - Atritos nas rodas de A: como as rodas de A não foram descritas como travadas, assumimos que elas rolam sem deslizar e, com massa das rodas desprezível e sem torque de freio, não há força tangencial líquida de atrito que faça trabalho (na prática nesses exercícios toma-se atrito de rolamento nulo). Logo não colocamos força de atrito ao longo da rampa em A.
Vagão B (massa
):
- Peso:
com componente paralela para baixo. - Normal:
perpendicular à rampa. - Força de atrito cinético (devido ao deslizamento das rodas):
. Essa força aponta para cima da rampa (opõe-se ao movimento para baixo). - Força da mola (tensão)
: atua puxando o vagão B para baixo da rampa (a mola puxa B no sentido do movimento), ou seja, soma com a componente peso para acelerar B para baixo.
Observação: a mola exerce forças iguais e opostas nos dois vagões: puxa A para cima com
e puxa B para baixo com
.
Passo 3
Agora vou traduzir esses DCLs em equações de movimento (Newton II) ao longo da rampa e explicar cada passo com calma.
Definição de variáveis e fórmulas que vou usar:
-
= força (tensão) da mola (positiva no sentido da tração que puxa B para baixo da rampa). -
= deflexão (extensão) da mola; pela Lei de Hooke temos . - Força de atrito cinético sobre B:
. - Newton II (para movimento ao longo da rampa, sentido positivo para baixo):
.
Escrevendo Newton II para cada vagão (positivo para baixo da rampa).
Para o vagão A:
Explicação: a componente do peso
puxa A para baixo; a mola puxa A para cima com
. A diferença é
.
Para o vagão B:
Explicação: peso para baixo
, atrito
sobe a rampa (portanto negativo), e a mola puxa B para baixo com
. Soma dessas forças =
.
Observação importante (muito útil): se somarmos as duas equações, o termo
interno se cancela, porque é força interna do par A–B. Fazendo isso obtemos a equação do movimento do conjunto (centro de massa):
Isto demonstra que a aceleração do conjunto pode ser encontrada diretamente a partir das forças externas (componentes de peso) menos o atrito externo em B, dividido pela massa total — um princípio muito prático para a prova: forças internas (como a mola) não aparecem ao considerar o conjunto inteiro.
Passo 4
Calcular a aceleração do conjunto (parte b).
Usando a equação do passo anterior e substituindo
, temos:
Isolando
:
Podemos escrever numa forma mais enxuta:
Explicação didática: a primeira parcela
é a aceleração que cada massa teria se não existisse atrito nem força interna; a segunda parcela é a correção devido ao atrito que age apenas em
, e por isso aparece o fator
.
Observação numérica: como o enunciado não deu
, a aceleração fica expressa em função de
. Se for fornecido um valor de
depois, basta substituir e calcular numericamente.
Passo 5
Calcular a tensão na mola
e a deflexão
(parte c).
Partimos da equação do vagão A:
Isolando
:
Agora substituímos a expressão de
obtida no Passo 4. Observação elegante de álgebra (que simplifica muito): ao substituir
vemos que os termos com
se cancelam, levando a uma expressão simples. Faço isso explicitamente:
Substituindo
temos
Portanto
Agora a deflexão da mola
pela Lei de Hooke
:
Comentário físico: é curioso e útil notar que a extensão da mola depende de
e do coeficiente
, mas não depende de
— isto ocorreu porque a componente de peso comum foi equilibrada pela mesma aceleração nos dois vagões; apenas o atrito diferencial em B cria a tração na mola.
Passo 6
Substituindo os valores numéricos conhecidos para escrever as fórmulas com as massas e constantes dadas (ainda em função de
):
- Aceleração:
Se preferir em forma numérica parcial:
então
- Deflexão da mola:
Fazendo os cálculos numéricos:
Dividindo por
, obtemos
Ou seja,
Explicação: esse número é a extensão em metros multiplicada por
; para um declive pequeno (
pequeno,
) a extensão fica perto de
.
Resposta
(a) Vagão A: forças ao longo da rampa —
para baixo, tensão da mola
para cima (sem atrito tangencial).
Vagão B: forças ao longo da rampa — para baixo, atrito cinético
para cima, tensão da mola
para baixo.
Vagão B: forças ao longo da rampa —
(b)
(c)