QUESTÃO 2 (6 pontos): O vagão A tem 3500 kg e o vagão B tem 8000 kg e são conectados por uma mola de rigidez 50.000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O conjunto está descendo a ladeira quando os freios do vagão B são acionados, fazendo deslizar as quatro rodas. O coeficiente de atrito entre as rodas e os trilhos é 0,4. Despreze a massa das rodas. Considere \mathrm{g}=10 \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}. Após o acionamento dos freios:
a) Desenhe o diagrama de corpo livre dos dois vagões;
b) Calcule a aceleração do conjunto;
c) Calcule a deflexão da mola.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
Dados fornecidos:
  • Massa do vagão A: m_A = 3500\\ \mathrm{kg}.
  • Massa do vagão B: m_B = 8000\\ \mathrm{kg}.
  • Rigidez da mola: k = 50\,000\\ \mathrm{N/m}.
  • Coeficiente de atrito entre rodas e trilhos: \mu = 0{,}4.
  • Aceleração da gravidade: g = 10\\ \mathrm{m/s^2}.
  • O conjunto desce uma ladeira com ângulo \theta em relação à horizontal (o enunciado não dá \theta; portanto as respostas serão em função de \theta).
  • Os freios de B são acionados e as quatro rodas de B deslizam (logo, para B vale atrito cinético f_k=\mu N). Desprezar massa das rodas.
O enunciado pede, após o acionamento dos freios:
(a) desenhar o diagrama de corpo livre (DCL) dos dois vagões;
(b) calcular a aceleração do conjunto;
(c) calcular a deflexão (extensão) da mola.

Passo 2

Descrevendo os diagramas de corpo livre (DCL) — isto é o pedido (a). Vou explicar e listar as forças que aparecem em cada vagão (isto serve como “desenho” em palavras, porque aqui não posso desenhar graficamente).
Escolho como eixo positivo a direção para baixo da rampa (sentido do movimento). Para ambos os vagões as forças importantes são:
Vagão A (massa m_A):
  • Peso: \;m_A g apontando vertical para baixo.
    • Sua componente paralela à rampa (para baixo da rampa): \;m_A g \sin\theta.
    • Sua componente normal (perpendicular à rampa): \;m_A g \cos\theta.
  • Força da mola (tensão) T: atua puxando o vagão A para cima da rampa (pois a mola está sendo esticada), ou seja, na direção oposta ao movimento. Assim, na equação do movimento ao longo da rampa T terá sinal negativo para A.
  • Atritos nas rodas de A: como as rodas de A não foram descritas como travadas, assumimos que elas rolam sem deslizar e, com massa das rodas desprezível e sem torque de freio, não há força tangencial líquida de atrito que faça trabalho (na prática nesses exercícios toma-se atrito de rolamento nulo). Logo não colocamos força de atrito ao longo da rampa em A.
Vagão B (massa m_B):
  • Peso: \;m_B g com componente paralela \;m_B g \sin\theta para baixo.
  • Normal: \;m_B g \cos\theta perpendicular à rampa.
  • Força de atrito cinético (devido ao deslizamento das rodas): \;f_k=\mu N=\mu m_B g \cos\theta. Essa força aponta para cima da rampa (opõe-se ao movimento para baixo).
  • Força da mola (tensão) T: atua puxando o vagão B para baixo da rampa (a mola puxa B no sentido do movimento), ou seja, soma com a componente peso para acelerar B para baixo.
Observação: a mola exerce forças iguais e opostas nos dois vagões: puxa A para cima com T e puxa B para baixo com T.

Passo 3

Agora vou traduzir esses DCLs em equações de movimento (Newton II) ao longo da rampa e explicar cada passo com calma.
Definição de variáveis e fórmulas que vou usar:
  • T = força (tensão) da mola (positiva no sentido da tração que puxa B para baixo da rampa).
  • x = deflexão (extensão) da mola; pela Lei de Hooke temos \;T = k x.
  • Força de atrito cinético sobre B: \;f_k = \mu N = \mu m_B g \cos\theta.
  • Newton II (para movimento ao longo da rampa, sentido positivo para baixo): \sum F = m a.
Escrevendo Newton II para cada vagão (positivo para baixo da rampa).
Para o vagão A:
m_A g \sin\theta - T = m_A a.
Explicação: a componente do peso \;m_A g \sin\theta puxa A para baixo; a mola puxa A para cima com T. A diferença é m_A a.
Para o vagão B:
m_B g \sin\theta - f_k + T = m_B a.
Explicação: peso para baixo m_B g \sin\theta, atrito f_k sobe a rampa (portanto negativo), e a mola puxa B para baixo com T. Soma dessas forças = m_B a.
Observação importante (muito útil): se somarmos as duas equações, o termo T interno se cancela, porque é força interna do par A–B. Fazendo isso obtemos a equação do movimento do conjunto (centro de massa):
(m_A + m_B) g \sin\theta - f_k = (m_A + m_B) a.
Isto demonstra que a aceleração do conjunto pode ser encontrada diretamente a partir das forças externas (componentes de peso) menos o atrito externo em B, dividido pela massa total — um princípio muito prático para a prova: forças internas (como a mola) não aparecem ao considerar o conjunto inteiro.

Passo 4

Calcular a aceleração do conjunto (parte b).
Usando a equação do passo anterior e substituindo f_k=\mu m_B g \cos\theta, temos:
(m_A + m_B) g \sin\theta - \mu m_B g \cos\theta = (m_A + m_B) a.
Isolando a:
a = \frac{(m_A + m_B) g \sin\theta - \mu m_B g \cos\theta}{m_A + m_B}.
Podemos escrever numa forma mais enxuta:
a = g\sin\theta - \frac{\mu m_B}{m_A + m_B}\,g\cos\theta.
Explicação didática: a primeira parcela g\sin\theta é a aceleração que cada massa teria se não existisse atrito nem força interna; a segunda parcela é a correção devido ao atrito que age apenas em m_B, e por isso aparece o fator m_B/(m_A+m_B).
Observação numérica: como o enunciado não deu \theta, a aceleração fica expressa em função de \theta. Se for fornecido um valor de \theta depois, basta substituir e calcular numericamente.

Passo 5

Calcular a tensão na mola T e a deflexão x (parte c).
Partimos da equação do vagão A:
m_A g \sin\theta - T = m_A a.
Isolando T:
T = m_A g \sin\theta - m_A a = m_A\bigl(g\sin\theta - a\bigr).
Agora substituímos a expressão de a obtida no Passo 4. Observação elegante de álgebra (que simplifica muito): ao substituir a vemos que os termos com g\sin\theta se cancelam, levando a uma expressão simples. Faço isso explicitamente:
Substituindo
a = \frac{(m_A + m_B) g \sin\theta - \mu m_B g \cos\theta}{m_A + m_B},
temos
g\sin\theta - a = g\sin\theta - \frac{(m_A + m_B) g \sin\theta - \mu m_B g \cos\theta}{m_A + m_B} = \frac{\mu m_B g \cos\theta}{m_A + m_B}.
Portanto
T = m_A\cdot\frac{\mu m_B g \cos\theta}{m_A + m_B} = \frac{\mu\, m_A m_B\, g \cos\theta}{m_A + m_B}.
Agora a deflexão da mola x pela Lei de Hooke \;T = k x:
x = \frac{T}{k} = \frac{\mu\, m_A m_B\, g \cos\theta}{k\,(m_A + m_B)}.
Comentário físico: é curioso e útil notar que a extensão da mola depende de \cos\theta e do coeficiente \mu, mas não depende de \sin\theta — isto ocorreu porque a componente de peso comum foi equilibrada pela mesma aceleração nos dois vagões; apenas o atrito diferencial em B cria a tração na mola.

Passo 6

Substituindo os valores numéricos conhecidos para escrever as fórmulas com as massas e constantes dadas (ainda em função de \theta):
  • Aceleração:
a = 10\sin\theta - \frac{0{,}4\cdot 8000}{3500+8000}\cdot 10\cos\theta.
Se preferir em forma numérica parcial:
\frac{0{,}4\cdot 8000}{3500+8000}=\frac{3200}{11500}\approx 0{,}27826,
então
a \approx 10\sin\theta - 2{,}7826\cos\theta\quad (\mathrm{m/s^2}).
  • Deflexão da mola:
x = \frac{0{,}4\cdot 3500\cdot 8000\cdot 10\cos\theta}{50\,000\,(3500+8000)}.
Fazendo os cálculos numéricos:
\mu m_A m_B g = 0{,}4\cdot 3500\cdot 8000\cdot 10 = 0{,}4\cdot 3500\cdot 80\,000 = 0{,}4\cdot 280\,000\,000 = 112\,000\,000.
Dividindo por k(m_A+m_B)=50\,000\cdot 11\,500 = 575\,000\,000, obtemos
x = \frac{112\,000\,000}{575\,000\,000}\cos\theta \approx 0{,}19478\cos\theta\\ \mathrm{m}.
Ou seja,
x \approx 0{,}1948\cos\theta\\ \mathrm{m}.
Explicação: esse número é a extensão em metros multiplicada por \cos\theta; para um declive pequeno ( \theta pequeno, \cos\theta\approx1 ) a extensão fica perto de 0{,}195\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) Vagão A: forças ao longo da rampa — m_A g\sin\theta para baixo, tensão da mola T para cima (sem atrito tangencial).
Vagão B: forças ao longo da rampa — m_B g\sin\theta para baixo, atrito cinético f_k=\mu m_B g\cos\theta para cima, tensão da mola T para baixo.
(b) a = \frac{(m_A + m_B) g \sin\theta - \mu m_B g \cos\theta}{m_A + m_B} = g\sin\theta - \frac{\mu m_B}{m_A + m_B}\,g\cos\theta.
(c) x = \frac{T}{k}=\frac{\mu\, m_A m_B\, g \cos\theta}{k\,(m_A + m_B)} \approx 0{,}1948\cos\theta\\ \mathrm{m}.

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