Problema 4. Considere essa nova versão do problema anterior:
são subconjuntos de um conjunto
. Sabemos que
i)
;
ii)
iii)
e
.
a partir dessas novas hipóteses, é possível concluir que
e
? Novamente, se sim, demonstre isso, e se não, dê um contra-exemplo.
i)
ii)
iii)
a partir dessas novas hipóteses, é possível concluir que
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações (todas extraídas do próprio enunciado):
-
são subconjuntos de um conjunto . - i)
. - ii)
. - iii)
e .
A pergunta é: a partir dessas hipóteses, é possível concluir que
e
? Se sim, demonstrar; se não, dar contra-exemplo.
Passo 2
Vamos recordar de forma bem simples o que significam os símbolos que vamos usar (sem pular etapas):
-
significa "todo elemento de também pertence a ". Para provar costuma-se pegar um elemento arbitrário e mostrar que . -
é o conjunto de elementos que estão em ou em (ou em ambos). Logo, se então ou . -
é o conjunto de elementos que estão em e em ao mesmo tempo. significa que não existe elemento pertencente simultaneamente a e a .
Essas definições são as ferramentas que vamos usar no raciocínio.
Passo 3
Estratégia: provar
fazendo “element chase” (escolhendo um elemento arbitrário de
e mostrando que pertence a
). Se der tudo certo, repetimos o argumento simetricamente para
.
Passo 4
Prova de
.
Seja um elemento arbitrário
. Como
(dado que todos os conjuntos são subconjuntos de
), temos
. Pela hipótese
, segue que
Suponha, para obter contradição, que
. Pela hipótese
segue que
. Mas então
, o que contradiz a hipótese
. Logo a suposição
é impossível. Portanto não resta outra possibilidade senão
Como
foi escolhido de forma arbitrária, concluímos que todo elemento de
pertence a
; isto é,
Passo 5
Prova de
.
O mesmo raciocínio, trocando índices, funciona: seja
. Como
e
, temos
ou
. Se
então, usando
, obteríamos
e, portanto,
, contradizendo
. Assim
e portanto
. Como
era arbitrário, segue
Passo 6
Consequência e conclusão final: já tínhamos
e provamos
; portanto
. Analogamente
. Em palavras: as hipóteses implicam que os pares de conjuntos coincidem e que
(ou equivalentemente
) formam uma partição de
.
Resposta
Sim.
e
. (Consequentemente
e
.)