Problema 4. Considere essa nova versão do problema anterior: X_{1}, X_{2}, Y_{1}, Y_{2} são subconjuntos de um conjunto U. Sabemos que
i) X_{1} \cup X_{2}=U;
ii) Y_{1} \cap Y_{2}=\varnothing
iii) X_{1} \subset Y_{1} e X_{2} \subset Y_{2}.
a partir dessas novas hipóteses, é possível concluir que Y_{1} \subset X_{1} e Y_{2} \subset X_{2} ? Novamente, se sim, demonstre isso, e se não, dê um contra-exemplo.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações (todas extraídas do próprio enunciado):
  • X_{1}, X_{2}, Y_{1}, Y_{2} são subconjuntos de um conjunto U.
  • i) X_{1}\cup X_{2}=U.
  • ii) Y_{1}\cap Y_{2}=\varnothing.
  • iii) X_{1}\subset Y_{1} e X_{2}\subset Y_{2}.
A pergunta é: a partir dessas hipóteses, é possível concluir que Y_{1}\subset X_{1} e Y_{2}\subset X_{2}? Se sim, demonstrar; se não, dar contra-exemplo.

Passo 2

Vamos recordar de forma bem simples o que significam os símbolos que vamos usar (sem pular etapas):
  • A\subset B significa "todo elemento de A também pertence a B". Para provar A\subset B costuma-se pegar um elemento arbitrário a\in A e mostrar que a\in B.
  • A\cup B é o conjunto de elementos que estão em A ou em B (ou em ambos). Logo, se u\in A\cup B então u\in A ou u\in B.
  • A\cap B é o conjunto de elementos que estão em A e em B ao mesmo tempo. A\cap B=\varnothing significa que não existe elemento pertencente simultaneamente a A e a B.
Essas definições são as ferramentas que vamos usar no raciocínio.

Passo 3

Estratégia: provar Y_{1}\subset X_{1} fazendo “element chase” (escolhendo um elemento arbitrário de Y_{1} e mostrando que pertence a X_{1}). Se der tudo certo, repetimos o argumento simetricamente para Y_{2}\subset X_{2}.

Passo 4

Prova de Y_{1}\subset X_{1}.
Seja um elemento arbitrário y\in Y_{1}. Como Y_{1}\subset U (dado que todos os conjuntos são subconjuntos de U), temos y\in U. Pela hipótese X_{1}\cup X_{2}=U, segue que
y\in X_{1}\quad\text{ou}\quad y\in X_{2}.
Suponha, para obter contradição, que y\in X_{2}. Pela hipótese X_{2}\subset Y_{2} segue que y\in Y_{2}. Mas então y\in Y_{1}\cap Y_{2}, o que contradiz a hipótese Y_{1}\cap Y_{2}=\varnothing. Logo a suposição y\in X_{2} é impossível. Portanto não resta outra possibilidade senão
y\in X_{1}.
Como y\in Y_{1} foi escolhido de forma arbitrária, concluímos que todo elemento de Y_{1} pertence a X_{1}; isto é,
Y_{1}\subset X_{1}.

Passo 5

Prova de Y_{2}\subset X_{2}.
O mesmo raciocínio, trocando índices, funciona: seja y\in Y_{2}. Como y\in U e U=X_{1}\cup X_{2}, temos y\in X_{1} ou y\in X_{2}. Se y\in X_{1} então, usando X_{1}\subset Y_{1}, obteríamos y\in Y_{1} e, portanto, y\in Y_{1}\cap Y_{2}, contradizendo Y_{1}\cap Y_{2}=\varnothing. Assim y\notin X_{1} e portanto y\in X_{2}. Como y era arbitrário, segue
Y_{2}\subset X_{2}.

Passo 6

Consequência e conclusão final: já tínhamos X_{1}\subset Y_{1} e provamos Y_{1}\subset X_{1}; portanto X_{1}=Y_{1}. Analogamente X_{2}=Y_{2}. Em palavras: as hipóteses implicam que os pares de conjuntos coincidem e que X_{1},X_{2} (ou equivalentemente Y_{1},Y_{2}) formam uma partição de U.

Resposta

Sim. Y_{1}\subset X_{1} e Y_{2}\subset X_{2}. (Consequentemente X_{1}=Y_{1} e X_{2}=Y_{2}.)

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