Problema 7. Diga quais das afirmações abaixo são verdadeiras e quais são falsas, justificando suas respostas sempre. Aqui, \wp é o conjunto das partes.
(a) A \subset B \Longleftrightarrow \wp(A) \subset \wp(B).
(b) A=B \Longleftrightarrow \wp(A)=\wp(B).
(c) A \subset B \Longleftrightarrow A \in \wp(B).
(d) A \in \wp(B) \Longleftrightarrow \wp(A) \subset \wp(B).
(e) \wp(A \backslash B)=\wp(A) \backslash \wp(B).
(f) \wp(A \backslash B) \backslash\{\varnothing\}=\wp(A) \backslash \wp(B).

Passo 1

O enunciado pede para decidir, com justificação, se cada uma das afirmações (a)–(f) é verdadeira ou falsa. As informações que temos são:
  • O símbolo \wp denota o conjunto das partes (power set). Ou seja, para qualquer conjunto X, \wp(X) é o conjunto de todos os subconjuntos de X.
  • As afirmações a analisar são:
    (a) \;A \subset B \Longleftrightarrow \wp(A) \subset \wp(B).
    (b) \;A=B \Longleftrightarrow \wp(A)=\wp(B).
    (c) \;A \subset B \Longleftrightarrow A \in \wp(B).
    (d) \;A \in \wp(B) \Longleftrightarrow \wp(A) \subset \wp(B).
    (e) \;\wp(A \backslash B)=\wp(A) \backslash \wp(B).
    (f) \;\wp(A \backslash B) \backslash\{\varnothing\}=\wp(A) \backslash \wp(B).
Não se faça ainda qualquer prova ou contra‑exemplo neste passo; isso começa no próximo passo.

Passo 2

Lembrete rápido e definições (para usar nas provas e contra‑exemplos):
  • \wp(X)=\{Y \mid Y\subset X\}.
  • Y\in\wp(X) significa exatamente Y\subset X.
  • A implicação lógica "se P então Q" se prova mostrando que toda vez que P ocorre, Q ocorre; a equivalência P\iff Q se mostra provando as duas implicações P\Rightarrow Q e Q\Rightarrow P.
    Vou usar isso para cada item, explicando cada passo.

Passo 3

Análise do item (a): \;A \subset B \Longleftrightarrow \wp(A) \subset \wp(B).
Prova de \Rightarrow. Suponha \;A\subset B. Tome um elemento qualquer X\in\wp(A). Pelo significado de \wp, temos X\subset A. Como A\subset B, pela transitividade da inclusão obtemos X\subset B. Então X\in\wp(B). Como X foi arbitrário em \wp(A), concluímos \wp(A)\subset\wp(B).
Prova de \Leftarrow. Suponha \;\wp(A)\subset\wp(B). Note que A\in\wp(A) (o conjunto A é um subconjunto de si mesmo). Pela hipótese, A\in\wp(B). Mas A\in\wp(B) significa, por definição, A\subset B. Logo \wp(A)\subset\wp(B)\Rightarrow A\subset B.
Conclusão do item (a): ambas as implicações valem, logo a afirmação é verdadeira.

Passo 4

Análise do item (b): \;A=B \Longleftrightarrow \wp(A)=\wp(B).
Prova de \Rightarrow. Se A=B então todo subconjunto de A é subconjunto de B e vice‑versa; portanto \wp(A)=\wp(B).
Prova de \Leftarrow. Suponha \wp(A)=\wp(B). Então A\in\wp(A), e pela igualdade A\in\wp(B), isto é A\subset B. Simetricamente B\in\wp(B)=\wp(A) implica B\subset A. Assim A\subset B e B\subset A, o que dá A=B.
Conclusão do item (b): a equivalência é verdadeira.

Passo 5

Análise do item (c): \;A \subset B \Longleftrightarrow A \in \wp(B).
Isto é, comparar a relação de inclusão com a relação de pertença ao conjunto das partes. Pela definição de \wp(B) temos imediatamente: A\in\wp(B) se e somente se A\subset B. Portanto a equivalência é verdadeira — as duas frases são a mesma afirmação dita de formas diferentes.
Conclusão do item (c): verdadeira.

Passo 6

Análise do item (d): \;A \in \wp(B) \Longleftrightarrow \wp(A) \subset \wp(B).
Mostrarei as duas implicações. Se A\in\wp(B) então A\subset B; a partir daí, como em (a), todo X\subset A satisfaz X\subset B, logo \wp(A)\subset\wp(B). Para a implicação inversa, se \wp(A)\subset\wp(B) então, como em (a), tomando A\in\wp(A) obtemos A\in\wp(B), ou seja A\subset B. Assim as duas implicações valem.
Conclusão do item (d): verdadeira.

Passo 7

Análise do item (e): \;\wp(A \backslash B)=\wp(A) \backslash \wp(B).
Vou dar um contra‑exemplo concreto (a forma mais direta de mostrar que uma igualdade entre conjuntos é falsa é encontrar um elemento que esteja de um lado e não do outro).
Escolha
A=\{1,2\},\qquad B=\{2\}.
Então
A\setminus B=\{1\}.
Calcule as partes:
\wp(A\setminus B)=\{\varnothing,\{1\}\}.
\wp(A)=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}, \qquad \wp(B)=\{\varnothing,\{2\}\}.
Logo
\wp(A)\setminus\wp(B)=\{\{1\},\{1,2\}\}.
Comparando:
\wp(A\setminus B)=\{\varnothing,\{1\}\}\neq\{\{1\},\{1,2\}\}=\wp(A)\setminus\wp(B).
Portanto a igualdade não vale no exemplo; logo a afirmação (e) é falsa.
Comentário explicativo (intuição): \wp(A)\setminus\wp(B) contém subconjuntos de A que não são subconjuntos de B; tais subconjuntos podem conter elementos de B (por exemplo \{1,2\} contém 2\in B), enquanto \wp(A\setminus B) só contém subconjuntos que não têm elementos de B. Por isso a igualdade costuma falhar.

Passo 8

Análise do item (f): \;\wp(A \backslash B) \backslash\{\varnothing\}=\wp(A) \backslash \wp(B).
Usarei o mesmo contra‑exemplo do item (e), que já mostrou discrepância entre os lados; aqui apenas removemos \varnothing do lado esquerdo:
Com A=\{1,2\} e B=\{2\} temos, como antes,
\wp(A\setminus B)\setminus\{\varnothing\}=\{\{1\}\},
enquanto
\wp(A)\setminus\wp(B)=\{\{1\},\{1,2\}\}.
Esses dois conjuntos ainda são diferentes (o segundo contém \{1,2\} que não aparece no primeiro). Portanto a igualdade proposta em (f) também é falsa.
Explicação intuitiva: remover apenas o conjunto vazio do lado esquerdo não resolve o problema de que \wp(A)\setminus\wp(B) pode conter subconjuntos de A que incluem elementos de B; esses nunca aparecerão em \wp(A\setminus B) (exceto o vazio), então a remoção do vazio não é suficiente para igualar os lados.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Verdadeira
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira
(e) Falsa
(f) Falsa

Exercícios relacionados