Problema 7. Diga quais das afirmações abaixo são verdadeiras e quais são falsas, justificando suas respostas sempre. Aqui,
é o conjunto das partes.
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(e)
.
(f)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 1
O enunciado pede para decidir, com justificação, se cada uma das afirmações (a)–(f) é verdadeira ou falsa. As informações que temos são:
- O símbolo
denota o conjunto das partes (power set). Ou seja, para qualquer conjunto , é o conjunto de todos os subconjuntos de . - As afirmações a analisar são:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Não se faça ainda qualquer prova ou contra‑exemplo neste passo; isso começa no próximo passo.
Passo 2
Lembrete rápido e definições (para usar nas provas e contra‑exemplos):
-
. -
significa exatamente . - A implicação lógica "se
então " se prova mostrando que toda vez que ocorre, ocorre; a equivalência se mostra provando as duas implicações e .
Vou usar isso para cada item, explicando cada passo.
Passo 3
Análise do item (a):
Prova de
. Suponha
. Tome um elemento qualquer
. Pelo significado de
, temos
. Como
, pela transitividade da inclusão obtemos
. Então
. Como
foi arbitrário em
, concluímos
.
Prova de
. Suponha
. Note que
(o conjunto
é um subconjunto de si mesmo). Pela hipótese,
. Mas
significa, por definição,
. Logo
.
Conclusão do item (a): ambas as implicações valem, logo a afirmação é verdadeira.
Passo 4
Análise do item (b):
Prova de
. Se
então todo subconjunto de
é subconjunto de
e vice‑versa; portanto
.
Prova de
. Suponha
. Então
, e pela igualdade
, isto é
. Simetricamente
implica
. Assim
e
, o que dá
.
Conclusão do item (b): a equivalência é verdadeira.
Passo 5
Análise do item (c):
Isto é, comparar a relação de inclusão com a relação de pertença ao conjunto das partes. Pela definição de
temos imediatamente:
se e somente se
. Portanto a equivalência é verdadeira — as duas frases são a mesma afirmação dita de formas diferentes.
Conclusão do item (c): verdadeira.
Passo 6
Análise do item (d):
Mostrarei as duas implicações. Se
então
; a partir daí, como em (a), todo
satisfaz
, logo
. Para a implicação inversa, se
então, como em (a), tomando
obtemos
, ou seja
. Assim as duas implicações valem.
Conclusão do item (d): verdadeira.
Passo 7
Análise do item (e):
Vou dar um contra‑exemplo concreto (a forma mais direta de mostrar que uma igualdade entre conjuntos é falsa é encontrar um elemento que esteja de um lado e não do outro).
Escolha
Então
Calcule as partes:
Logo
Comparando:
Portanto a igualdade não vale no exemplo; logo a afirmação (e) é falsa.
Comentário explicativo (intuição):
contém subconjuntos de
que não são subconjuntos de
; tais subconjuntos podem conter elementos de
(por exemplo
contém
), enquanto
só contém subconjuntos que não têm elementos de
. Por isso a igualdade costuma falhar.
Passo 8
Análise do item (f):
Usarei o mesmo contra‑exemplo do item (e), que já mostrou discrepância entre os lados; aqui apenas removemos
do lado esquerdo:
Com
e
temos, como antes,
enquanto
Esses dois conjuntos ainda são diferentes (o segundo contém
que não aparece no primeiro). Portanto a igualdade proposta em (f) também é falsa.
Explicação intuitiva: remover apenas o conjunto vazio do lado esquerdo não resolve o problema de que
pode conter subconjuntos de
que incluem elementos de
; esses nunca aparecerão em
(exceto o vazio), então a remoção do vazio não é suficiente para igualar os lados.
Resposta
(a) Verdadeira
(b) Verdadeira
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira
(e) Falsa
(f) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira
(e) Falsa
(f) Falsa