Problema 1. Considere uma partícula de massa
em uma dimensão, sujeita a
.
Verifique que
não é uma solução da equação de Schrödinger.
Verifique que
Passo 1
O enunciado dá explicitamente:
- Uma partícula unidimensional de massa
sujeita a . - Uma função de onda proposta
, onde , e são constantes (presumivelmente complexas em princípio, mas normalmente pensadas como reais a olho nu).
O que se pede: verificar que essaNÃO é solução da equação de Schrödinger dependente do tempo para .
Passo 2
Relembrando a equação de Schrödinger dependente do tempo (TDSE) para uma partícula de massa
em uma dimensão com potencial
:
Aqui:
-
é a função de onda, -
é a constante de Planck reduzida, -
e são derivadas parciais em tempo e espaço.
Paraa equação fica
A técnica para verificar se uma dada
é solução é: calcular
e
, substituir na TDSE e ver se a igualdade é satisfeita.
Passo 3
Calcular a derivada temporal de
.
Como e
são constantes, usando regra da cadeia:
Como
Explicação didática: derivar em relação a
traz um fator
porque o expoente depende de
apenas através de
.
Passo 4
Calcular a segunda derivada espacial de
.
Primeira derivada espacial:
Primeira derivada espacial:
Segunda derivada:
Explicação didática: cada derivada em
puxa um fator
, porque o expoente depende linearmente de
como
.
Passo 5
Substituir
e
na TDSE para
:
Simplificando (podemos dividir por
desde que
, caso trivial):
Isolando
:
Isso é a condição que
e
deveriam satisfazer para que a
seja solução da TDSE.
Passo 6
Interpretação e conclusão física:
- Se
e forem números reais (como normalmente se assume quando se escreve sem imaginares), a relação é impossível: o lado esquerdo é puramente imaginário (proporcional a ) e o direito é real, salvo no caso degenerado em que ambos são zero. Logo, para não existe solução não trivial. - A única maneira de satisfazer a relação é permitir
complexo (ou complexo). Por exemplo, se for real então teria que ser puramente imaginário (como mostrado), o que dá comportamento temporal exponencial (decaimento ou crescimento) em vez de oscilatório. Além disso, a forma com real normalmente não é normalizável (diverge em ), então mesmo que se escolham e complexos para satisfazer a equação obtém-se funções de onda não físicas ou não normalizáveis na maioria dos casos. - Exceção trivial:
e (então constante) satisfazem a condição matemática, mas constante não é normalizável em todo o eixo real e, portanto, não é um estado físico normalizável (é uma solução matemática espalhada).
Portanto, a função proposta com
reais NÃO é solução física da equação de Schrödinger para
.
Resposta
Não. Substituindo na equação de Schrödinger obtém-se
, que não pode ser satisfeita para
(salvo o caso trivial
).