Problema 1. Considere uma partícula de massa m em uma dimensão, sujeita a V(x)=0.
Verifique que
\psi(x, t)=A e^{k x-\omega t}
não é uma solução da equação de Schrödinger.

Passo 1

O enunciado dá explicitamente:
  • Uma partícula unidimensional de massa m sujeita a V(x)=0.
  • Uma função de onda proposta \psi(x,t)=A e^{k x-\omega t}, onde A, k e \omega são constantes (presumivelmente complexas em princípio, mas normalmente pensadas como reais a olho nu).
    O que se pede: verificar que essa \psi(x,t) NÃO é solução da equação de Schrödinger dependente do tempo para V(x)=0.

Passo 2

Relembrando a equação de Schrödinger dependente do tempo (TDSE) para uma partícula de massa m em uma dimensão com potencial V(x):
i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}} + V(x)\,\psi.
Aqui:
  • \psi=\psi(x,t) é a função de onda,
  • \hbar é a constante de Planck reduzida,
  • \partial/\partial t e \partial^{2}/\partial x^{2} são derivadas parciais em tempo e espaço.
    Para V(x)=0 a equação fica
i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}.
A técnica para verificar se uma dada \psi é solução é: calcular \partial\psi/\partial t e \partial^{2}\psi/\partial x^{2}, substituir na TDSE e ver se a igualdade é satisfeita.

Passo 3

Calcular a derivada temporal de \psi(x,t)=A e^{k x-\omega t}.
Como k e \omega são constantes, usando regra da cadeia:
\frac{\partial \psi}{\partial t} = A \frac{d}{dt}\big(e^{k x-\omega t}\big) = A\big(-\omega\big)e^{k x-\omega t} = -\omega\,\psi.
Explicação didática: derivar em relação a t traz um fator -\omega porque o expoente depende de t apenas através de -\omega t.

Passo 4

Calcular a segunda derivada espacial de \psi.
Primeira derivada espacial:
\frac{\partial \psi}{\partial x} = A\frac{d}{dx}\big(e^{k x-\omega t}\big) = A k e^{k x-\omega t} = k\,\psi.
Segunda derivada:
\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}(k\psi) = k\frac{\partial\psi}{\partial x} = k(k\psi)=k^{2}\psi.
Explicação didática: cada derivada em x puxa um fator k, porque o expoente depende linearmente de x como k x.

Passo 5

Substituir \partial\psi/\partial t e \partial^{2}\psi/\partial x^{2} na TDSE para V=0:
i\hbar(-\omega\psi) \stackrel{?}{=} -\frac{\hbar^{2}}{2m}(k^{2}\psi).
Simplificando (podemos dividir por \psi desde que \psi\not\equiv 0, caso trivial):
-i\hbar\omega = -\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m} \quad\Longrightarrow\quad i\hbar\omega = \frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}.
Isolando \omega:
\omega = -\,i\,\frac{\hbar k^{2}}{2m}.
Isso é a condição que \omega e k deveriam satisfazer para que a \psi seja solução da TDSE.

Passo 6

Interpretação e conclusão física:
  • Se k e \omega forem números reais (como normalmente se assume quando se escreve e^{kx-\omega t} sem imaginares), a relação i\hbar\omega=\dfrac{\hbar^{2}k^{2}}{2m} é impossível: o lado esquerdo é puramente imaginário (proporcional a i) e o direito é real, salvo no caso degenerado em que ambos são zero. Logo, para k,\omega\in\mathbb{R} não existe solução não trivial.
  • A única maneira de satisfazer a relação é permitir \omega complexo (ou k complexo). Por exemplo, se k for real então \omega teria que ser puramente imaginário (como mostrado), o que dá comportamento temporal exponencial (decaimento ou crescimento) em vez de oscilatório. Além disso, a forma e^{k x} com k real normalmente não é normalizável (diverge em x\to\pm\infty), então mesmo que se escolham k e \omega complexos para satisfazer a equação obtém-se funções de onda não físicas ou não normalizáveis na maioria dos casos.
  • Exceção trivial: k=0 e \omega=0 (então \psi=A constante) satisfazem a condição matemática, mas \psi constante não é normalizável em todo o eixo real e, portanto, não é um estado físico normalizável (é uma solução matemática espalhada).
Portanto, a função proposta com k,\omega reais NÃO é solução física da equação de Schrödinger para V(x)=0.

Resposta

Não. Substituindo na equação de Schrödinger obtém-se \,i\hbar\omega=\dfrac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}\,, que não pode ser satisfeita para k,\omega\in\mathbb{R} (salvo o caso trivial k=\omega=0).

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