Exercício proposto (11/02/26): Quais das sénes a seguir convergem e quais divergem? Justifque sua resposta
Passo 1
O enunciado nos dá a soma infinita
e pede para determinar se essa série converge ou diverge. Informações relevantes dadas:
- O termo geral da série é
. - A soma começa em
e vai até infinito.
A pergunta é: a série converge ou diverge? (Justificar.)
Passo 2
Vamos lembrar o que é uma série geométrica e seu critério de convergência, porque essa soma tem exatamente a forma de uma série geométrica.
Definição e critério (explicado passo a passo):
- Uma série geométrica padrão tem a forma
onde
é um número real (ou complexo) chamado razão. Aqui,
é o número que se repete como base elevada a
.
- Fato importante: para que uma série infinita possa convergir, o termo geral deve tender a zero quando
. Ou seja, é necessário que
- Para a série geométrica existe um critério preciso:
- Se
, a série converge e sua soma é (Aqui porque .) - Se
, a série diverge. Para os termos crescem em módulo e não tendem a zero; para os termos não tendem a zero (são constantes em módulo) e também a série diverge.
- Se
Breve justificativa da fórmula quando
(para você saber como usar na prova):
- Considere a soma parcial
. - Multiplicando por
: . - Subtraindo:
, então . - Se
, então quando , logo .
Passo 3
Aplicando o critério ao nosso caso:
- Identificamos
. - Vamos comparar o valor de
com . Sabendo que
e , temos (Usei aproximações conhecidas de e .) - Portanto
, isto é .
Passo 4
Conclusão pelo critério da série geométrica e pelo teste do termo geral:
- Como
, a série geométrica
diverge. - Também é imediato pelo teste do termo geral: o termo geral não tende a zero, pois
quando a base é maior que . Se os termos não tendem a zero, a série não pode convergir.
Resposta
A série diverge.