Exercício proposto (11/02/26): Quais das sénes a seguir convergem e quais divergem? Justifque sua resposta
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{\pi}{e}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a soma infinita
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{\pi}{e}\right)^{n},
e pede para determinar se essa série converge ou diverge. Informações relevantes dadas:
  • O termo geral da série é a_n=\left(\dfrac{\pi}{e}\right)^{n}.
  • A soma começa em n=0 e vai até infinito.
    A pergunta é: a série converge ou diverge? (Justificar.)

Passo 2

Vamos lembrar o que é uma série geométrica e seu critério de convergência, porque essa soma tem exatamente a forma de uma série geométrica.
Definição e critério (explicado passo a passo):
  • Uma série geométrica padrão tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n},
onde r é um número real (ou complexo) chamado razão. Aqui, r é o número que se repete como base elevada a n.
  • Fato importante: para que uma série infinita possa convergir, o termo geral deve tender a zero quando n\to\infty. Ou seja, é necessário que
\lim_{n\to\infty} r^{n}=0.
  • Para a série geométrica existe um critério preciso:
    • Se |r|<1, a série converge e sua soma é \sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}.(Aqui 1-r\neq0 porque |r|<1.)
    • Se |r|\ge 1, a série diverge. Para |r|>1 os termos crescem em módulo e não tendem a zero; para |r|=1 os termos não tendem a zero (são constantes em módulo) e também a série diverge.
Breve justificativa da fórmula quando |r|<1 (para você saber como usar na prova):
  • Considere a soma parcial S_N=\sum_{n=0}^{N} r^{n}.
  • Multiplicando por r: rS_N=\sum_{n=0}^{N} r^{n+1}=\sum_{n=1}^{N+1} r^{n}.
  • Subtraindo: S_N-rS_N=1-r^{N+1}, então S_N=\dfrac{1-r^{N+1}}{1-r}.
  • Se |r|<1, então r^{N+1}\to 0 quando N\to\infty, logo S_N\to \dfrac{1}{1-r}.

Passo 3

Aplicando o critério ao nosso caso:
  • Identificamos r=\dfrac{\pi}{e}.
  • Vamos comparar o valor de \dfrac{\pi}{e} com 1. Sabendo que
    \pi\approx 3,1416 e e\approx 2,7183, temos \frac{\pi}{e}\approx\frac{3,1416}{2,7183}\approx 1,1557.(Usei aproximações conhecidas de \pi e e.)
  • Portanto \dfrac{\pi}{e}>1, isto é |r|>1.

Passo 4

Conclusão pelo critério da série geométrica e pelo teste do termo geral:
  • Como |r|=\left|\dfrac{\pi}{e}\right|>1, a série geométrica
    \sum_{n=0}^{\infty} r^{n} diverge.
  • Também é imediato pelo teste do termo geral: o termo geral não tende a zero, pois \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\pi}{e}\right)^{n}=\infty,quando a base é maior que 1. Se os termos não tendem a zero, a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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