Problema 3. Considere um potencial
independente do tempo.
a) Assuma uma solução do tipo
e mostre que a equação de Schrödinger se separa.
b) Resolva a equação temporal.
c) Mostre que a densidade de probabilidade é independente do tempo, ou seja, calcule explicitamente
.
a) Assuma uma solução do tipo
b) Resolva a equação temporal.
c) Mostre que a densidade de probabilidade é independente do tempo, ou seja, calcule explicitamente
Passo 1
O enunciado dá um potencial
que não depende do tempo e pede três coisas:
- (a) Assumir uma solução do tipo
e mostrar que a equação de Schrödinger se separa. - (b) Resolver explicitamente a equação temporal para
. - (c) Mostrar que a densidade de probabilidade é independente do tempo, ou seja, calcular
e mostrar que não depende de .
Informações que vou usar (padrão da mecânica quântica não fornecido explicitamente no enunciado, mas assumido):
- A equação de Schrödinger dependente do tempo em uma dimensão espacial é
- Vou assumir funções suficientemente bem comportadas (por exemplo
normalizável e decaindo nas fronteiras) para permitir integrais e integrações por partes quando necessário.
Passo 2
Substituir a hipótese
na equação de Schrödinger. Primeiro escrevo as derivadas parciais:
Substituindo na equação de Schrödinger:
Passo 3
Separei em partes que dependem só de
e só de
. Divido ambos os lados por
(assumindo
e
não nulos nos pontos considerados):
O lado esquerdo depende apenas de
e o lado direito depende apenas de
. A única forma de uma expressão que depende só de
ser igual a uma que depende só de
para todos
é que ambas sejam iguais a uma mesma constante (independente de
e de
). Chamo essa constante de
(o aparecimento desse
será identificado como energia):
Reescrevendo como duas ODEs separadas:
Passo 4
Interpretação e comentário rápido sobre
: a segunda equação é a equação de Schrödinger independente do tempo (autovalores/autofunções do Hamiltoniano). Para estados fisicamente aceitáveis (por exemplo
normalizável),
é real — é a energia. Posso mostrar isso de forma direta: multiplico a equação espacial por
e integro em todo o espaço (supondo condições de contorno que anulem os termos de fronteira):
No lado esquerdo, por integração por partes o termo cinético transforma-se em
mais termos de fronteira que anulam; isso é real, e o termo
também é real porque
é real. Logo o lado esquerdo é real, logo
é real (dividindo por
). Esse argumento também mostra por que escolhemos a constante real: ela corresponde a um autovalor real do operador Hamiltoniano, que é hermitiano.
Passo 5
Resolver a equação temporal simples
Isto é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem. Faço separação de variáveis:
Integro ambos os lados em
:
onde
é constante de integração (complexa em geral). Exponenciando:
onde
é uma constante complexa determinada pela normalização/fase inicial. Podemos escrever
se quisermos separar módulo e fase.
Passo 6
Combinar soluções espacial e temporal para escrever a função de onda separada:
Normalmente escolhe-se a constante de fase/modulação
para que
esteja normalizada (ou se absorve
em
). A parte espacial
satisfaz
que é resolvida caso a caso dependendo de
.
Passo 7
Calcular explicitamente a densidade de probabilidade e mostrar que é independente do tempo. A densidade de probabilidade é
Substituindo
:
Como
, obtemos
que não depende de
. Se escolhermos
tal que
(ou absorvendo o módulo na normalização de
), então
mostrando que a densidade é estática no tempo para estados estacionários (autofunções do Hamiltoniano).
Passo 8
Resumo em palavras (estilo de prova para a prova): assumindo
a equação de Schrödinger se separa em uma equação espacial (autovalor) e uma equação temporal simples; a solução temporal é uma exponencial de fase
; essa fase tem módulo unitário, logo não altera a densidade de probabilidade, que fica proporcional a
e, portanto, independente do tempo.
Resposta
(a) A equação separa em
(b)
onde
é constante complexa.
(c)
que para escolha normalizada de constantes dá
, independente do tempo.