Problema 3. Considere um potencial V(x) independente do tempo.
a) Assuma uma solução do tipo \psi(x, t)=\varphi(x) T(t) e mostre que a equação de Schrödinger se separa.
b) Resolva a equação temporal.
c) Mostre que a densidade de probabilidade é independente do tempo, ou seja, calcule explicitamente |\psi(x, t)|^{2}.

Passo 1

O enunciado dá um potencial \,V(x)\, que não depende do tempo e pede três coisas:
  • (a) Assumir uma solução do tipo \psi(x,t)=\varphi(x)\,T(t) e mostrar que a equação de Schrödinger se separa.
  • (b) Resolver explicitamente a equação temporal para T(t).
  • (c) Mostrar que a densidade de probabilidade é independente do tempo, ou seja, calcular |\psi(x,t)|^{2} e mostrar que não depende de t.
Informações que vou usar (padrão da mecânica quântica não fornecido explicitamente no enunciado, mas assumido):
  • A equação de Schrödinger dependente do tempo em uma dimensão espacial é
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t) = \left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + V(x)\right)\psi(x,t).
  • Vou assumir funções suficientemente bem comportadas (por exemplo \varphi normalizável e decaindo nas fronteiras) para permitir integrais e integrações por partes quando necessário.

Passo 2

Substituir a hipótese \psi(x,t)=\varphi(x)\,T(t) na equação de Schrödinger. Primeiro escrevo as derivadas parciais:
\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t)=\varphi(x)\,T'(t), \qquad \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\psi(x,t)=\varphi''(x)\,T(t).
Substituindo na equação de Schrödinger:
i\hbar\,\varphi(x)\,T'(t) = \left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\varphi''(x) + V(x)\varphi(x)\right)T(t).

Passo 3

Separei em partes que dependem só de t e só de x. Divido ambos os lados por \varphi(x)\,T(t) (assumindo \varphi e T não nulos nos pontos considerados):
i\hbar\frac{T'(t)}{T(t)} = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\varphi''(x)}{\varphi(x)} + V(x).
O lado esquerdo depende apenas de t e o lado direito depende apenas de x. A única forma de uma expressão que depende só de t ser igual a uma que depende só de x para todos x,t é que ambas sejam iguais a uma mesma constante (independente de x e de t). Chamo essa constante de E (o aparecimento desse E será identificado como energia):
i\hbar\frac{T'(t)}{T(t)} = E, \qquad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\varphi''(x)}{\varphi(x)} + V(x) = E.
Reescrevendo como duas ODEs separadas:
\text{Equação temporal:}\qquad i\hbar\,T'(t)=E\,T(t),çã
\text{Equação espacial (estacionária):}\qquad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\varphi''(x)+V(x)\varphi(x)=E\,\varphi(x).çãá

Passo 4

Interpretação e comentário rápido sobre E: a segunda equação é a equação de Schrödinger independente do tempo (autovalores/autofunções do Hamiltoniano). Para estados fisicamente aceitáveis (por exemplo \varphi normalizável), E é real — é a energia. Posso mostrar isso de forma direta: multiplico a equação espacial por \varphi^{*}(x) e integro em todo o espaço (supondo condições de contorno que anulem os termos de fronteira):
\int \varphi^{*}\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\varphi''+V\varphi\right)dx = E\int |\varphi|^{2}dx.
No lado esquerdo, por integração por partes o termo cinético transforma-se em \int \frac{\hbar^{2}}{2m}|\varphi'|^{2}dx mais termos de fronteira que anulam; isso é real, e o termo \int V|\varphi|^{2}dx também é real porque V(x) é real. Logo o lado esquerdo é real, logo E é real (dividindo por \int|\varphi|^{2}dx>0). Esse argumento também mostra por que escolhemos a constante real: ela corresponde a um autovalor real do operador Hamiltoniano, que é hermitiano.

Passo 5

Resolver a equação temporal simples
i\hbar\,T'(t)=E\,T(t).
Isto é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem. Faço separação de variáveis:
\frac{T'(t)}{T(t)} = -\frac{iE}{\hbar}.
Integro ambos os lados em t:
\int \frac{T'(t)}{T(t)}\,dt = \int -\frac{iE}{\hbar}\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln T(t) = -\frac{iE}{\hbar}t + C,
onde C é constante de integração (complexa em geral). Exponenciando:
T(t) = C_{0}\,e^{-iEt/\hbar},
onde C_{0}=e^{C} é uma constante complexa determinada pela normalização/fase inicial. Podemos escrever C_{0}=|C_{0}|e^{i\theta} se quisermos separar módulo e fase.

Passo 6

Combinar soluções espacial e temporal para escrever a função de onda separada:
\psi(x,t)=\varphi(x)\,T(t)=\varphi(x)\,C_{0}\,e^{-iEt/\hbar}.
Normalmente escolhe-se a constante de fase/modulação C_{0} para que \psi esteja normalizada (ou se absorve C_{0} em \varphi). A parte espacial \varphi(x) satisfaz
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\varphi''(x)+V(x)\varphi(x)=E\varphi(x),
que é resolvida caso a caso dependendo de V(x).

Passo 7

Calcular explicitamente a densidade de probabilidade e mostrar que é independente do tempo. A densidade de probabilidade é
|\psi(x,t)|^{2} = \psi^{*}(x,t)\psi(x,t).
Substituindo \psi(x,t)=\varphi(x)C_{0}e^{-iEt/\hbar}:
|\psi(x,t)|^{2} = \big(\varphi^{*}(x)C_{0}^{*}e^{+iEt/\hbar}\big)\big(\varphi(x)C_{0}e^{-iEt/\hbar}\big) = |C_{0}|^{2}\,|\varphi(x)|^{2}\,e^{+iEt/\hbar}e^{-iEt/\hbar}.
Como e^{+iEt/\hbar}e^{-iEt/\hbar}=1, obtemos
|\psi(x,t)|^{2} = |C_{0}|^{2}\,|\varphi(x)|^{2},
que não depende de t. Se escolhermos C_{0} tal que |C_{0}|=1 (ou absorvendo o módulo na normalização de \varphi), então
|\psi(x,t)|^{2} = |\varphi(x)|^{2},
mostrando que a densidade é estática no tempo para estados estacionários (autofunções do Hamiltoniano).

Passo 8

Resumo em palavras (estilo de prova para a prova): assumindo \psi=\varphi T a equação de Schrödinger se separa em uma equação espacial (autovalor) e uma equação temporal simples; a solução temporal é uma exponencial de fase e^{-iEt/\hbar}; essa fase tem módulo unitário, logo não altera a densidade de probabilidade, que fica proporcional a |\varphi(x)|^{2} e, portanto, independente do tempo.

Resposta

(a) A equação separa em
i\hbar\,T'(t)=E\,T(t) \qquad\text{e}\qquad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\varphi''(x)+V(x)\varphi(x)=E\varphi(x).
(b) T(t)=C_{0}\,e^{-iEt/\hbar},
onde C_{0} é constante complexa.
(c) |\psi(x,t)|^{2}=|C_{0}|^{2}\,|\varphi(x)|^{2},
que para escolha normalizada de constantes dá |\psi(x,t)|^{2}=|\varphi(x)|^{2}, independente do tempo.

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