Problema 4. Considere a função de onda
.
a) Determine a constante de normalização
.
b) Sabendo que o valor esperado é dado por
Calcule
usando a função de onda fornecida.
c) Calcule
.
Dicas: Use a condição de normalização
. Lembre que
.
a) Determine a constante de normalização
b) Sabendo que o valor esperado é dado por
c) Calcule
Passo 1
O enunciado dá a função de onda inicial e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que precisa ser encontrado.
Dados:
- A função de onda é
com . - A condição de normalização:
. - A fórmula fornecida que será útil:
para . - A definição de valor esperado:
.
O que o enunciado pede:
(a) determinar a constante de normalização ;
(b) calcular usando a função de onda dada;
(c) calcular .
(a) determinar a constante de normalização
(b) calcular
(c) calcular
Passo 2
Normalização: escrever a condição usando
.
A condição de normalização é
Como
e
é real positivo, tem-se
. Então a integral fica
Passo 3
Avaliar a integral gaussiana e isolar
.
Usando a fórmula dada com
(note que
porque
), tem
Substituindo na condição de normalização:
Isolando
:
Portanto, o módulo de
é
. Em geral
pode ter uma fase complexa arbitrária, mas costumamos escolher
real e positivo; assim
Passo 4
Cálculo de
: escrever a integral e observar a simetria.
Pela definição do valor esperado,
Usando
, fica
Passo 5
Usar paridade (função ímpar) para concluir sobre
.
A função
é ímpar, isto é, troca de sinal quando
, pois
é ímpar e
é par. A integral de uma função ímpar em
é zero. Logo
Passo 6
Cálculo de
: escrever a integral e introduzir um método para avaliar
.
Pela definição,
Para avaliar
(aqui
), é útil derivar a integral gaussiana conhecida em relação ao parâmetro
. Começamos de
Diferenciando ambos os lados em relação a
,
Portanto
Agora calcule
a partir de
:
Logo
Passo 7
Aplicar a fórmula com
e simplificar para obter
.
Com
,
Multiplicando por
,
Agora simplificar cuidadosamente:
Portanto
.