Problema 4. Considere a função de onda
\psi(x, 0)=A e^{-\alpha x^{2}},
\operatorname{com} \alpha>0.
a) Determine a constante de normalização A.
b) Sabendo que o valor esperado é dado por
\langle f(x)\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x, 0) f(x) \psi^{*}(x, 0) d x
Calcule \langle x\rangle usando a função de onda fornecida.
c) Calcule \left\langle x^{2}\right\rangle.
Dicas: Use a condição de normalização \int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x, 0)|^{2} d x=1. Lembre que \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^{2}} d x=\sqrt{\frac{\pi}{a}}, \quad a>0.

Passo 1

O enunciado dá a função de onda inicial e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que precisa ser encontrado.
Dados:
  • A função de onda é \psi(x,0)=A e^{-\alpha x^{2}} com \alpha>0.
  • A condição de normalização: \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,0)|^{2}\,dx=1.
  • A fórmula fornecida que será útil: \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^{2}}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}} para a>0.
  • A definição de valor esperado: \displaystyle \langle f(x)\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\psi(x,0)\,f(x)\,\psi^*(x,0)\,dx.
O que o enunciado pede:
(a) determinar a constante de normalização A;
(b) calcular \langle x\rangle usando a função de onda dada;
(c) calcular \langle x^{2}\rangle.

Passo 2

Normalização: escrever a condição usando \psi.
A condição de normalização é
\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,0)|^{2}\,dx=1.
Como \psi(x,0)=A e^{-\alpha x^{2}} e \alpha é real positivo, tem-se |\psi(x,0)|^{2}=|A|^{2} e^{-2\alpha x^{2}}. Então a integral fica
|A|^{2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\alpha x^{2}}\,dx=1.

Passo 3

Avaliar a integral gaussiana e isolar A.
Usando a fórmula dada com a=2\alpha (note que 2\alpha>0 porque \alpha>0), tem
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\alpha x^{2}}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{2\alpha}}.
Substituindo na condição de normalização:
|A|^{2}\sqrt{\frac{\pi}{2\alpha}}=1.
Isolando |A|^{2}:
|A|^{2}=\sqrt{\frac{2\alpha}{\pi}}.
Portanto, o módulo de A é |A|=\left(\dfrac{2\alpha}{\pi}\right)^{1/4}. Em geral A pode ter uma fase complexa arbitrária, mas costumamos escolher A real e positivo; assim
A=\left(\dfrac{2\alpha}{\pi}\right)^{1/4}.

Passo 4

Cálculo de \langle x\rangle: escrever a integral e observar a simetria.
Pela definição do valor esperado,
\langle x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\psi(x,0)\,x\,\psi^{*}(x,0)\,dx.
Usando |\psi|^{2}=|A|^{2} e^{-2\alpha x^{2}}, fica
\langle x\rangle=|A|^{2}\int_{-\infty}^{\infty} x\,e^{-2\alpha x^{2}}\,dx.

Passo 5

Usar paridade (função ímpar) para concluir sobre \langle x\rangle.
A função x\,e^{-2\alpha x^{2}} é ímpar, isto é, troca de sinal quando x\to -x, pois x é ímpar e e^{-2\alpha x^{2}} é par. A integral de uma função ímpar em (-\infty,\infty) é zero. Logo
\langle x\rangle=0.

Passo 6

Cálculo de \langle x^{2}\rangle: escrever a integral e introduzir um método para avaliar \int x^{2}e^{-a x^{2}}dx.
Pela definição,
\langle x^{2}\rangle=|A|^{2}\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} e^{-2\alpha x^{2}}\,dx.
Para avaliar \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} x^{2} e^{-a x^{2}}\,dx (aqui a=2\alpha), é útil derivar a integral gaussiana conhecida em relação ao parâmetro a. Começamos de
I(a)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^{2}}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}.
Diferenciando ambos os lados em relação a a,
I'(a)=\frac{d}{da}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^{2}}\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial}{\partial a} e^{-a x^{2}}\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} (-x^{2}) e^{-a x^{2}}\,dx.
Portanto
\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} e^{-a x^{2}}\,dx = -I'(a).
Agora calcule I'(a) a partir de I(a)=\sqrt{\pi}\,a^{-1/2}:
I'(a)=\sqrt{\pi}\left(-\tfrac{1}{2}\right)a^{-3/2} = -\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\,a^{-3/2}.
Logo
\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} e^{-a x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\sqrt{\pi}\,a^{-3/2}.

Passo 7

Aplicar a fórmula com a=2\alpha e simplificar para obter \langle x^{2}\rangle.
Com a=2\alpha,
\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} e^{-2\alpha x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\sqrt{\pi}\,(2\alpha)^{-3/2}.
Multiplicando por |A|^{2}=\sqrt{\dfrac{2\alpha}{\pi}},
\langle x^{2}\rangle = \sqrt{\frac{2\alpha}{\pi}}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{\pi}\,(2\alpha)^{-3/2}.
Agora simplificar cuidadosamente:
\langle x^{2}\rangle = \frac{1}{2}\left(\sqrt{2\alpha}\right)\,(2\alpha)^{-3/2} = \frac{1}{2}(2\alpha)^{-1} = \frac{1}{4\alpha}.
Portanto \langle x^{2}\rangle=\dfrac{1}{4\alpha}.

Resposta

A=\left(\dfrac{2\alpha}{\pi}\right)^{1/4}
\langle x\rangle=0
\langle x^{2}\rangle=\dfrac{1}{4\alpha}

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