Problema 3. Considere subconjuntos X_{1}, X_{2}, Y_{1}, Y_{2} de um conjunto U. Sabemos que
i) X_{1} \cup X_{2}=U;
ii) Y_{1} \cap Y_{2}=\varnothing
iii) Y_{1} \subset X_{1} e Y_{2} \subset X_{2}.
a partir dessas hipóteses, é possível concluir que X_{1} \subset Y_{1} e X_{2} \subset Y_{2} ? Se sim, demonstre isso, e se não, dê um contra-exemplo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou escrevê-las exatamente como estão, para ficar claro o que temos):
  • i) \;X_{1}\cup X_{2}=U.
  • ii) \;Y_{1}\cap Y_{2}=\varnothing.
  • iii) \;Y_{1}\subset X_{1} e \;Y_{2}\subset X_{2}.
A pergunta é: a partir dessas hipóteses, é possível concluir que \;X_{1}\subset Y_{1} e \;X_{2}\subset Y_{2} ?
Ou seja: as inclusões inversas X_{1}\subset Y_{1} e X_{2}\subset Y_{2} seguem logicamente das três hipóteses dadas?

Passo 2

Lembrete rápido e didático dos conceitos que vamos usar (para quem está com o desespero aceso, respira fundo — a teoria é curta):
  • Definição: \;A\subset B significa que todo elemento de A também pertence a B.
  • Definição: \;A\cup B é o conjunto de elementos que estão em A ou em B (ou em ambos).
  • Definição: \;A\cap B é o conjunto de elementos que estão simultaneamente em A e em B.
  • \varnothing denota o conjunto vazio (sem elementos).
    Essas definições são o suficiente para avaliar se uma afirmação do tipo “ X_1\subset Y_1” é verdadeira: bastaria encontrar um elemento de X_1 que não esteja em Y_1 para refutar a inclusão.

Passo 3

Observação útil antes de tentar provar: se ambas as inclusões inversas fossem verdadeiras, ou seja, se além de \;Y_{1}\subset X_{1} tivéssemos \;X_{1}\subset Y_{1}, então teríamos \;X_{1}=Y_{1} (duas inclusões mútuas dão igualdade). O mesmo para X_{2} e Y_{2}. Então a pergunta é, na prática: as hipóteses implicam necessariamente X_{1}=Y_{1} e X_{2}=Y_{2}? Se puder encontrar um exemplo que satisfaça i), ii), iii) mas com X_{1}\neq Y_{1} (ou X_{2}\neq Y_{2}), isso já basta para mostrar que a conclusão desejada NÃO é obrigatória.

Passo 4

Vou construir um contra-exemplo simples e verificar passo a passo as hipóteses.
Escolhe-se o universo pequeno
\;U=\{1,2\}.
Defino
\;X_{1}=\{1,2\},\quad X_{2}=\{2\},
\;Y_{1}=\{1\},\quad Y_{2}=\{2\}.
Agora verifico cada hipótese:
  • i) \;X_{1}\cup X_{2}=\{1,2\}\cup\{2\}=\{1,2\}=U. Logo i) é satisfeita.
  • ii) \;Y_{1}\cap Y_{2}=\{1\}\cap\{2\}=\varnothing. Logo ii) é satisfeita.
  • iii) \;Y_{1}=\{1\}\subset\{1,2\}=X_{1} e \;Y_{2}=\{2\}\subset\{2\}=X_{2}. Logo iii) é satisfeita.
Portanto as três hipóteses do enunciado são verdadeiras para essa escolha de conjuntos.

Passo 5

Verificação da conclusão proposta no contra-exemplo:
  • \;X_{1}\subset Y_{1} seria \;\{1,2\}\subset\{1\}. Isso é falso porque 2\in X_{1} mas 2\notin Y_{1}. Portanto \;X_{1}\not\subset Y_{1}.
  • \;X_{2}\subset Y_{2} aqui é \;\{2\}\subset\{2\}, que é verdadeira, mas o enunciado pedia as duas inclusões simultâneas. Já que \;X_{1}\subset Y_{1} falha, a conclusão “ X_{1}\subset Y_{1} e X_{2}\subset Y_{2}” NÃO segue das hipóteses.

Passo 6

Interpretação final e dica prática para a prova: o fato de Y_{1}\subset X_{1} e Y_{2}\subset X_{2} não obriga que X_{1} e X_{2} sejam “reduzidos” exatamente a Y_{1} e Y_{2}; pode haver elementos extras em X_{1} (como o 2 no contra-exemplo) que não pertencem a Y_{1}. Se o objetivo na prova fosse deduzir as inclusões inversas, seria preciso hipóteses adicionais (por exemplo, algo que forçasse que todo elemento de X_{1} não esteja em X_{2} e que Y_{1}\cup Y_{2}=U de forma apropriada, mas isso já é outra questão).

Resposta

Não. Contra-exemplo: \;U=\{1,2\},\;X_{1}=\{1,2\},\;X_{2}=\{2\},\;Y_{1}=\{1\},\;Y_{2}=\{2\}, que satisfaz i), ii), iii) mas \;X_{1}\not\subset Y_{1}.

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