Problema 3. Considere subconjuntos
de um conjunto
. Sabemos que
i)
;
ii)
iii)
e
.
a partir dessas hipóteses, é possível concluir que
e
? Se sim, demonstre isso, e se não, dê um contra-exemplo.
i)
ii)
iii)
a partir dessas hipóteses, é possível concluir que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou escrevê-las exatamente como estão, para ficar claro o que temos):
- i)
. - ii)
. - iii)
e .
A pergunta é: a partir dessas hipóteses, é possível concluir que
e
?
Ou seja: as inclusões inversas e
seguem logicamente das três hipóteses dadas?
Ou seja: as inclusões inversas
Passo 2
Lembrete rápido e didático dos conceitos que vamos usar (para quem está com o desespero aceso, respira fundo — a teoria é curta):
- Definição:
significa que todo elemento de também pertence a . - Definição:
é o conjunto de elementos que estão em ou em (ou em ambos). - Definição:
é o conjunto de elementos que estão simultaneamente em e em . -
denota o conjunto vazio (sem elementos).
Essas definições são o suficiente para avaliar se uma afirmação do tipo “” é verdadeira: bastaria encontrar um elemento de que não esteja em para refutar a inclusão.
Passo 3
Observação útil antes de tentar provar: se ambas as inclusões inversas fossem verdadeiras, ou seja, se além de
tivéssemos
, então teríamos
(duas inclusões mútuas dão igualdade). O mesmo para
e
. Então a pergunta é, na prática: as hipóteses implicam necessariamente
e
? Se puder encontrar um exemplo que satisfaça i), ii), iii) mas com
(ou
), isso já basta para mostrar que a conclusão desejada NÃO é obrigatória.
Passo 4
Vou construir um contra-exemplo simples e verificar passo a passo as hipóteses.
Escolhe-se o universo pequeno
.
Defino
Defino
Agora verifico cada hipótese:
- i)
. Logo i) é satisfeita. - ii)
. Logo ii) é satisfeita. - iii)
e . Logo iii) é satisfeita.
Portanto as três hipóteses do enunciado são verdadeiras para essa escolha de conjuntos.
Passo 5
Verificação da conclusão proposta no contra-exemplo:
-
seria . Isso é falso porque mas . Portanto . -
aqui é , que é verdadeira, mas o enunciado pedia as duas inclusões simultâneas. Já que falha, a conclusão “ e ” NÃO segue das hipóteses.
Passo 6
Interpretação final e dica prática para a prova: o fato de
e
não obriga que
e
sejam “reduzidos” exatamente a
e
; pode haver elementos extras em
(como o
no contra-exemplo) que não pertencem a
. Se o objetivo na prova fosse deduzir as inclusões inversas, seria preciso hipóteses adicionais (por exemplo, algo que forçasse que todo elemento de
não esteja em
e que
de forma apropriada, mas isso já é outra questão).
Resposta
Não. Contra-exemplo:
, que satisfaz i), ii), iii) mas
.