Problema 4 A correção de energia devida à interação spin-órbita no átomo de hidrogênio é proporcional ao produto escalar entre os operadores momento angular orbital e spin:
\hat{B}, \hat{S O} \propto \vec{L} \cdot \vec{S},
onde \vec{L} atua no grau de liberdade orbital e \vec{S} no grau de liberdade de spin do elétron.
(a) Quais são os valores permitidos do aḿnaro cuântico orbital l para o nível principal n=2 ?
(b) Com base na expressão de \hat{H}_{S O}, mostre por que a interação spin-órbita é nula para um desses estados.
(c) Conclua qual estado do nível n=-2 ayresenta desdobramento fino devido à interação spin-órbita. Justifique.

Passo 1

O enunciado dá que a correção spin-órbita tem a forma proporcional ao produto escalar entre os operadores momento angular orbital e spin:
\hat{H}_{SO}\propto \vec{L}\cdot\vec{S}.
As perguntas são:
(a) Quais os valores permitidos do número quântico orbital l para o nível principal n=2?
(b) Com base em \hat{H}_{SO}, mostrar por que a interação spin-órbita é nula para um desses estados.
(c) Concluir qual estado do nível n=2 apresenta desdobramento fino devido à interação spin-órbita e justificar.
Observação: o enunciado em (c) usa “ n=-2”, que parece ser um erro de digitação. Vou interpretar essa parte como referindo-se ao nível n=2.

Passo 2

Vamos lembrar, de forma bem didática e sem pular etapas, quais são os números quânticos e seus limites (só os que precisamos):
  • n é o número quântico principal: n=1,2,3,\dots. Aqui temos n=2.
  • l é o número quântico orbital: para dado n, os valores possíveis são
l=0,1,2,\dots,n-1.
  • s é o spin do elétron; para elétron temos s=\tfrac{1}{2}.
  • j é o número quântico do momento angular total \vec{J}=\vec{L}+\vec{S}; para dados l e s os valores possíveis são
j=|l-s|,\\ |l-s|+1,\dots,l+s.
Estas regras vêm da teoria angular quântica: l cobre as componentes orbital, s o spin intrínseco, e j combina os dois.

Passo 3

Aplicando a regra para l com n=2:
l=0,1,\dots,n-1 = 0,1.
Portanto os valores permitidos são l=0 (estado 2s) e l=1 (estado 2p).

Passo 4

Agora precisamos relacionar \vec{L}\cdot\vec{S} com operadores cujo valor próprio conhecemos. A identidade útil da álgebra dos operadores angulares é
\vec{J}^2 = (\vec{L}+\vec{S})^2 = \vec{L}^2 + \vec{S}^2 + 2\,\vec{L}\cdot\vec{S}.
Desse modo isolamos \vec{L}\cdot\vec{S}:
\vec{L}\cdot\vec{S} = \frac{1}{2}\big(\vec{J}^2 - \vec{L}^2 - \vec{S}^2\big).
Explicando bem: \vec{J}^2, \vec{L}^2 e \vec{S}^2 têm autovalores conhecidos quando o estado é simultaneamente autovetor desses operadores. Para um estado com números quânticos l,s,j os autovalores são
\vec{L}^2 \to \hbar^2 l(l+1),\qquad \vec{S}^2 \to \hbar^2 s(s+1),\qquad \vec{J}^2 \to \hbar^2 j(j+1).
Logo o autovalor de \vec{L}\cdot\vec{S} nesse estado é
\langle \vec{L}\cdot\vec{S}\rangle = \frac{\hbar^2}{2}\big(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\big).
Isto nos dá uma fórmula prática para calcular o efeito da interação spin-órbita em estados de bem-definidos l,s,j.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao caso l=0 (estado 2s) e s=\tfrac{1}{2}:
  • Para l=0 só existe j=|0-\tfrac{1}{2}|=\tfrac{1}{2}.
  • Calculemos
j(j+1)=\tfrac{1}{2}\big(\tfrac{1}{2}+1\big)=\tfrac{3}{4}, \qquad l(l+1)=0, \qquad s(s+1)=\tfrac{1}{2}\big(\tfrac{1}{2}+1\big)=\tfrac{3}{4}.
Substituindo na fórmula:
\langle \vec{L}\cdot\vec{S}\rangle = \frac{\hbar^2}{2}\big(\tfrac{3}{4}-0-\tfrac{3}{4}\big) = \frac{\hbar^2}{2}\cdot 0 = 0.
Portanto a contribuição da interação spin-órbita é nula para l=0. Em linguagem física: quando l=0 o momento angular orbital é zero ( \vec{L}=0), logo o produto escalar \vec{L}\cdot\vec{S} é zero e não há correção spin-órbita.

Passo 6

Agora vamos ver o caso l=1 (estados 2p). Aqui s=\tfrac{1}{2} e os possíveis j são
j=|1-\tfrac{1}{2}|=\tfrac{1}{2}\quad\text{e}\quad j=1+\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.
Calculemos \langle\vec{L}\cdot\vec{S}\rangle para cada j.
Para j=\tfrac{3}{2}:
j(j+1)=\tfrac{3}{2}\big(\tfrac{3}{2}+1\big)=\tfrac{15}{4}, \qquad l(l+1)=1\cdot2=2, \qquad s(s+1)=\tfrac{3}{4}.
Logo
\langle \vec{L}\cdot\vec{S}\rangle = \frac{\hbar^2}{2}\big(\tfrac{15}{4}-2-\tfrac{3}{4}\big) = \frac{\hbar^2}{2}\big(\tfrac{15-8-3}{4}\big) = \frac{\hbar^2}{2}\cdot \tfrac{4}{4} = \frac{\hbar^2}{2}.
Para j=\tfrac{1}{2}:
j(j+1)=\tfrac{1}{2}\big(\tfrac{1}{2}+1\big)=\tfrac{3}{4},
então
\langle \vec{L}\cdot\vec{S}\rangle = \frac{\hbar^2}{2}\big(\tfrac{3}{4}-2-\tfrac{3}{4}\big) = \frac{\hbar^2}{2}\big(-2\big) = -\hbar^2.
Portanto os dois valores são diferentes ( \tfrac{\hbar^2}{2} e -\hbar^2), o que implica que o termo proporcional a \vec{L}\cdot\vec{S} dá energias diferentes para os estados 2p_{3/2} e 2p_{1/2}. Esse é o desdobramento fino (fine structure) do subnível 2p.

Passo 7

Interpretação física e conclusão: o subnível 2s ( l=0) não sofre contribuição da interação spin-órbita porque \vec{L}=0\Rightarrow \vec{L}\cdot\vec{S}=0. O subnível 2p ( l=1) tem dois valores de j e, como mostramos, \langle\vec{L}\cdot\vec{S}\rangle é diferente para j=\tfrac{1}{2} e j=\tfrac{3}{2}, logo o 2p se divide em 2p_{1/2} e 2p_{3/2} com energias distintas — isto é o desdobramento fino devido à interação spin-órbita.

Resposta

(a) l=0,1
(b) Para l=0 (estado 2s) tem-se \langle\vec{L}\cdot\vec{S}\rangle=0, porque \vec{L}=0, logo a interação spin-órbita é nula.
(c) O estado 2p ( l=1) apresenta desdobramento fino: os níveis 2p_{1/2} e 2p_{3/2} têm \langle\vec{L}\cdot\vec{S}\rangle diferentes ( -\hbar^2 para j=\tfrac{1}{2} e \tfrac{\hbar^2}{2} para j=\tfrac{3}{2}), portanto energias diferentes.

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