Problema 4 A correção de energia devida à interação spin-órbita no átomo de hidrogênio é proporcional ao produto escalar entre os operadores momento angular orbital e spin:
onde
atua no grau de liberdade orbital e
no grau de liberdade de spin do elétron.
(a) Quais são os valores permitidos do aḿnaro cuântico orbital
para o nível principal
?
(b) Com base na expressão de
, mostre por que a interação spin-órbita é nula para um desses estados.
(c) Conclua qual estado do nível
ayresenta desdobramento fino devido à interação spin-órbita. Justifique.
(a) Quais são os valores permitidos do aḿnaro cuântico orbital
(b) Com base na expressão de
(c) Conclua qual estado do nível
Passo 1
O enunciado dá que a correção spin-órbita tem a forma proporcional ao produto escalar entre os operadores momento angular orbital e spin:
As perguntas são:
(a) Quais os valores permitidos do número quântico orbital para o nível principal
?
(b) Com base em , mostrar por que a interação spin-órbita é nula para um desses estados.
(c) Concluir qual estado do nível apresenta desdobramento fino devido à interação spin-órbita e justificar.
(a) Quais os valores permitidos do número quântico orbital
(b) Com base em
(c) Concluir qual estado do nível
Observação: o enunciado em (c) usa “
”, que parece ser um erro de digitação. Vou interpretar essa parte como referindo-se ao nível
.
Passo 2
Vamos lembrar, de forma bem didática e sem pular etapas, quais são os números quânticos e seus limites (só os que precisamos):
-
é o número quântico principal: . Aqui temos . -
é o número quântico orbital: para dado , os valores possíveis são
-
é o spin do elétron; para elétron temos . -
é o número quântico do momento angular total ; para dados e os valores possíveis são
Estas regras vêm da teoria angular quântica:
cobre as componentes orbital,
o spin intrínseco, e
combina os dois.
Passo 3
Aplicando a regra para
com
:
Portanto os valores permitidos são
(estado
) e
(estado
).
Passo 4
Agora precisamos relacionar
com operadores cujo valor próprio conhecemos. A identidade útil da álgebra dos operadores angulares é
Desse modo isolamos
:
Explicando bem:
,
e
têm autovalores conhecidos quando o estado é simultaneamente autovetor desses operadores. Para um estado com números quânticos
os autovalores são
Logo o autovalor de
nesse estado é
Isto nos dá uma fórmula prática para calcular o efeito da interação spin-órbita em estados de bem-definidos
.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao caso
(estado
) e
:
- Para
só existe . - Calculemos
Substituindo na fórmula:
Portanto a contribuição da interação spin-órbita é nula para
. Em linguagem física: quando
o momento angular orbital é zero (
), logo o produto escalar
é zero e não há correção spin-órbita.
Passo 6
Agora vamos ver o caso
(estados
). Aqui
e os possíveis
são
Calculemos
para cada
.
Para
:
Logo
Para
:
então
Portanto os dois valores são diferentes (
e
), o que implica que o termo proporcional a
dá energias diferentes para os estados
e
. Esse é o desdobramento fino (fine structure) do subnível
.
Passo 7
Interpretação física e conclusão: o subnível
(
) não sofre contribuição da interação spin-órbita porque
. O subnível
(
) tem dois valores de
e, como mostramos,
é diferente para
e
, logo o
se divide em
e
com energias distintas — isto é o desdobramento fino devido à interação spin-órbita.
Resposta
(a)
(b) Para (estado
) tem-se
, porque
, logo a interação spin-órbita é nula.
(c) O estado (
) apresenta desdobramento fino: os níveis
e
têm
diferentes (
para
e
para
), portanto energias diferentes.
(b) Para
(c) O estado