Problema 2 Considere o átomo de hidrogênio no estado fundamental (
), cuja função de onda normalizada é:
O operador energia potencial eletrostática entre o elétron e o próton é:
O valor esperado de um operador
é dado por:
(a) Escreva a expressão integral explícita para
em coordenadas esféricas, substituindo
e
. Mostre como a simetria esférica permite fatorar a integral angular.
(b) Calcule o valor numérico de
para o estado fundamental, expressando o resultado em elétron-volts (eV). Use a integral tabelada (6) se necessário.
(c) Compare seu resultado com a energia total do estado fundamental,
.
- Qual é a relação entre
(energia cinética média) e
?
- Interprete fisicamente por que
.
Dados:
- Raio de Bohr:
- Carga elementar:
- Constante eletrostática:
- Energia do estado fundamental do hidrogênio:
- Conversão:
- Para
e
:
(b) Calcule o valor numérico de
(c) Compare seu resultado com a energia total do estado fundamental,
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
- (a) Escrever a expressão integral explícita para
em coordenadas esféricas, substituindo e , e mostrar como a simetria esférica permite fatorar a integral angular. - (b) Calcular numericamente
para o estado fundamental e expressar o resultado em elétron-volts (eV), usando a integral tabelada fornecida quando necessário. - (c) Comparar o resultado com
; indicar a relação entre e e interpretar fisicamente por que .
Informações relevantes dadas (vou usar exatamente os símbolos do enunciado):
-
. -
, com . - Fórmula do valor esperado:
com . - Integral útil: para
e , - Constantes numéricas:
, , , etc. (fornecidas no enunciado).
Passo 2
Escrevendo a integral para
substituindo
e
.
Começo da definição:
Substituindo
e
, obtemos a expressão explícita:
Simplificando os exponenciais e o
no integrando:
Aqui a simetria esférica ficou explícita: a função de onda do estado fundamental depende só de
, logo a integral angular separa-se e dá um fator numérico, enquanto a integral radial contém toda a dependência em
. As integrais angulares são as conhecidas:
portanto o fator angular total é
. Substituindo isso:
Passo 3
Calcular a integral radial usando a fórmula tabelada.
Temos a integral radial
Comparando com a fórmula
, escolhemos
e
. Então
Substituindo essa integral na expressão de
:
Portanto, exatamente e de forma limpa,
Passo 4
Converter o resultado analítico para valor numérico em joules e depois para elétron-volts.
Calculemos
com os valores fornecidos:
-
, -
, -
.
Primeiro
:
Dividindo por
:
Logo
Converter para eV usando
:
Passo 5
Comparação com
e relação com
.
Sabendo que para o átomo de hidrogênio no estado ligado a energia total do estado fundamental é
, observamos numericamente que
Pela teoria (teorema do virial para potenciais
) vale, em estados estacionários quânticos:
Dessa identidade segue que
ou seja numericamente
e
. E a energia total é
coerente com o valor conhecido.
Passo 6
Interpretação física por que
.
Física simples e intuitiva: o valor esperado da energia potencial
não é igual à energia total
porque a energia total é a soma das energias cinética média
e potencial média
. No estado ligado do hidrogênio a energia cinética média é positiva (
), de modo que a energia potencial média tem magnitude maior (mais negativa) do que a energia total. O teorema do virial para o potencial coulombiano relaciona essas parcelas de forma fixa:
e
. Assim
é duas vezes mais negativo que
, e isso é consequência física de equilíbrio entre atração elétrica (potencial negativo) e movimento quântico (energia cinética positiva).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)