Problema 2 Considere o átomo de hidrogênio no estado fundamental ( n=1, l=0 ), cuja função de onda normalizada é:
\psi_{100}(r)=\frac{1}{\sqrt{\pi a_{0}^{3}}} e^{-r / a_{0}}
O operador energia potencial eletrostática entre o elétron e o próton é:
\hat{V}(r)=-\frac{k e^{2}}{r}, \quad \operatorname{com} k=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}
O valor esperado de um operador \hat{O} é dado por:
\langle\hat{O}\rangle=\int \psi^{*} \hat{O} \psi \mathrm{~d} V, \quad \mathrm{~d} V=r^{2} \sin \theta \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta \mathrm{~d} \varphi
(a) Escreva a expressão integral explícita para \langle\hat{V}\rangle em coordenadas esféricas, substituindo \psi_{100} e \hat{V}(r). Mostre como a simetria esférica permite fatorar a integral angular.
(b) Calcule o valor numérico de \langle\hat{V}\rangle para o estado fundamental, expressando o resultado em elétron-volts (eV). Use a integral tabelada (6) se necessário.
(c) Compare seu resultado com a energia total do estado fundamental, E_{1}=-13.6 \mathrm{eV}.
  • Qual é a relação entre \langle V\rangle,\langle T\rangle (energia cinética média) e E_{1} ?
  • Interprete fisicamente por que \langle V\rangle \neq E_{1}.
Dados:
  • Raio de Bohr: a_{0} \approx 5.29 \times 10^{-11} \mathrm{~m}=0.0529 \mathrm{~nm}
  • Carga elementar: e \approx 1.602 \times 10^{-19} \mathrm{C}
  • Constante eletrostática: k=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \approx 8.99 \times 10^{9} \mathrm{Nm}^{2} \mathrm{C}^{-2}
  • Energia do estado fundamental do hidrogênio: E_{1}=-13.6 \mathrm{eV}
  • Conversão: 1 \mathrm{eV} \approx 1.602 \times 10^{-19} \mathrm{~J}
  • Para \alpha>0 e m \in \mathbb{N} :
\int_{0}^{\infty} x^{m} e^{-\alpha x} \mathrm{~d} x=\frac{m!}{\alpha^{m+1}}

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • (a) Escrever a expressão integral explícita para \langle\hat{V}\rangle em coordenadas esféricas, substituindo \psi_{100} e \hat{V}(r), e mostrar como a simetria esférica permite fatorar a integral angular.
  • (b) Calcular numericamente \langle\hat{V}\rangle para o estado fundamental e expressar o resultado em elétron-volts (eV), usando a integral tabelada fornecida quando necessário.
  • (c) Comparar o resultado com E_{1}=-13{,}6\\ \mathrm{eV}; indicar a relação entre \langle V\rangle,\langle T\rangle e E_{1} e interpretar fisicamente por que \langle V\rangle \neq E_{1}.
Informações relevantes dadas (vou usar exatamente os símbolos do enunciado):
  • \psi_{100}(r)=\dfrac{1}{\sqrt{\pi a_{0}^{3}}} e^{-r/a_{0}}.
  • \hat{V}(r)=-\dfrac{k e^{2}}{r}, com k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}.
  • Fórmula do valor esperado: \langle\hat{O}\rangle=\int \psi^{*}\hat{O}\psi\,\mathrm{d}V com \mathrm{d}V=r^{2}\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi.
  • Integral útil: para \alpha>0 e m\in\mathbb{N}, \int_{0}^{\infty} x^{m} e^{-\alpha x}\,\mathrm{d}x=\frac{m!}{\alpha^{m+1}}.
  • Constantes numéricas: a_{0}, e, k, E_{1} etc. (fornecidas no enunciado).

Passo 2

Escrevendo a integral para \langle\hat{V}\rangle substituindo \psi_{100} e \hat{V}(r).
Começo da definição:
\langle\hat{V}\rangle=\int \psi_{100}^{*}(r)\left(-\frac{k e^{2}}{r}\right)\psi_{100}(r)\,\mathrm{d}V.
Substituindo \psi_{100}(r)=\dfrac{1}{\sqrt{\pi a_{0}^{3}}}e^{-r/a_{0}} e \mathrm{d}V=r^{2}\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi, obtemos a expressão explícita:
\langle\hat{V}\rangle= -\frac{k e^{2}}{\pi a_{0}^{3}} \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi} e^{-r/a_{0}}\,e^{-r/a_{0}}\, \frac{r^{2}}{r}\, \sin\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}r.
Simplificando os exponenciais e o r no integrando:
\langle\hat{V}\rangle= -\frac{k e^{2}}{\pi a_{0}^{3}} \int_{0}^{\infty} e^{-2r/a_{0}}\, r\,\mathrm{d}r \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi.
Aqui a simetria esférica ficou explícita: a função de onda do estado fundamental depende só de r, logo a integral angular separa-se e dá um fator numérico, enquanto a integral radial contém toda a dependência em r. As integrais angulares são as conhecidas:
\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi=2\pi,\qquad \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta=2,
portanto o fator angular total é 4\pi. Substituindo isso:
\langle\hat{V}\rangle= -\frac{k e^{2}}{\pi a_{0}^{3}}\,(4\pi)\int_{0}^{\infty} r\,e^{-2r/a_{0}}\,\mathrm{d}r = -\frac{4k e^{2}}{a_{0}^{3}}\int_{0}^{\infty} r\,e^{-2r/a_{0}}\,\mathrm{d}r.

Passo 3

Calcular a integral radial usando a fórmula tabelada.
Temos a integral radial
\int_{0}^{\infty} r\,e^{-2r/a_{0}}\,\mathrm{d}r.
Comparando com a fórmula \int_{0}^{\infty} x^{m} e^{-\alpha x}\,\mathrm{d}x=\dfrac{m!}{\alpha^{m+1}}, escolhemos m=1 e \alpha=\dfrac{2}{a_{0}}. Então
\int_{0}^{\infty} r\,e^{-2r/a_{0}}\,\mathrm{d}r=\frac{1!}{\left(\dfrac{2}{a_{0}}\right)^{2}}=\frac{1}{(2/a_{0})^{2}}=\frac{a_{0}^{2}}{4}.
Substituindo essa integral na expressão de \langle\hat{V}\rangle:
\langle\hat{V}\rangle = -\frac{4k e^{2}}{a_{0}^{3}}\cdot\frac{a_{0}^{2}}{4} = -\frac{k e^{2}}{a_{0}}.
Portanto, exatamente e de forma limpa,
\boxed{\langle\hat{V}\rangle = -\dfrac{k e^{2}}{a_{0}}.}

Passo 4

Converter o resultado analítico para valor numérico em joules e depois para elétron-volts.
Calculemos \dfrac{k e^{2}}{a_{0}} com os valores fornecidos:
  • k\approx 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}\,C^{-2}},
  • e\approx 1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C},
  • a_{0}\approx 5{,}29\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
Primeiro k e^{2}:
k e^{2}\approx 8{,}99\times10^{9}\times(1{,}602\times10^{-19})^{2} =8{,}99\times10^{9}\times 2{,}5664\times10^{-38} \approx 2{,}3066\times10^{-28}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Dividindo por a_{0}:
\frac{k e^{2}}{a_{0}}\approx \frac{2{,}3066\times10^{-28}}{5{,}29\times10^{-11}} \approx 4{,}360\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.
Logo
\langle\hat{V}\rangle = -4{,}360\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.
Converter para eV usando 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}:
\langle\hat{V}\rangle \approx -\frac{4{,}360\times10^{-18}}{1{,}602\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV} \approx -27{,}2\\ \mathrm{eV}.

Passo 5

Comparação com E_{1} e relação com \langle T\rangle.
Sabendo que para o átomo de hidrogênio no estado ligado a energia total do estado fundamental é E_{1}=-13{,}6\\ \mathrm{eV}, observamos numericamente que
\langle V\rangle = -27{,}2\\ \mathrm{eV} = 2\cdot(-13{,}6\\ \mathrm{eV}) = 2E_{1}.
Pela teoria (teorema do virial para potenciais V(r)\propto 1/r) vale, em estados estacionários quânticos:
2\langle T\rangle + \langle V\rangle = 0.
Dessa identidade segue que
\langle T\rangle = -\tfrac{1}{2}\langle V\rangle = -E_{1},
ou seja numericamente \langle T\rangle = 13{,}6\\ \mathrm{eV} e \langle V\rangle = -27{,}2\\ \mathrm{eV}. E a energia total é
E_{1}=\langle T\rangle+\langle V\rangle = 13{,}6-27{,}2=-13{,}6\\ \mathrm{eV},
coerente com o valor conhecido.

Passo 6

Interpretação física por que \langle V\rangle \neq E_{1}.
Física simples e intuitiva: o valor esperado da energia potencial \langle V\rangle não é igual à energia total E_{1} porque a energia total é a soma das energias cinética média \langle T\rangle e potencial média \langle V\rangle. No estado ligado do hidrogênio a energia cinética média é positiva ( \langle T\rangle>0), de modo que a energia potencial média tem magnitude maior (mais negativa) do que a energia total. O teorema do virial para o potencial coulombiano relaciona essas parcelas de forma fixa: \langle V\rangle=-2\langle T\rangle e E=\langle T\rangle+\langle V\rangle=-\langle T\rangle. Assim \langle V\rangle é duas vezes mais negativo que E_{1}, e isso é consequência física de equilíbrio entre atração elétrica (potencial negativo) e movimento quântico (energia cinética positiva).

Resposta

(a) \displaystyle \langle\hat{V}\rangle= -\frac{k e^{2}}{\pi a_{0}^{3}} \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi} e^{-2r/a_{0}}\frac{r^{2}}{r}\sin\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}r = -\frac{k e^{2}}{a_{0}}.
(b) \displaystyle \langle\hat{V}\rangle\approx -27{,}2\\ \mathrm{eV}.
(c) \displaystyle \langle V\rangle=2E_{1}=-27{,}2\\ \mathrm{eV},\quad \langle T\rangle=-E_{1}=13{,}6\\ \mathrm{eV}.

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