Problema 3 Descreva como o experimento de Stern-Gerlach forneceu evidências experimentais para a existência do spin do elétron. Se o elétron não possuísse spin e estivesse em um estado s(\ell=0), o que seria observado na placa detectora após o feixe atravessar o campo magnético não uniforme?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Descrever como o experimento de Stern–Gerlach forneceu evidência experimental da existência do spin do elétron.
  • Dizer o que seria observado na placa detectora se o elétron não possuísse spin e estivesse em um estado s ( \ell=0).
Informações relevantes (do experimento clássico, que serão usadas na explicação):
  • Um feixe de átomos neutros (no experimento original foram átomos de prata) atravessa um campo magnético não uniforme e incide numa placa detectora.
  • No experimento real observou‑se que o feixe se divide em duas manchas bem separadas na placa, não em uma distribuição contínua.
  • No átomo de prata que foi usado, o elétron de valência ocupa um orbital 5s (portanto \ell=0), o que implica que a contribuição orbital para o momento magnético é nula; assim qualquer momento magnético detectado vem de alguma outra origem.

Passo 2

Entendendo qualitativamente o que o aparelho faz — força magnética sobre um momento magnético:
  • Um objeto com momento magnético \boldsymbol{\mu} num campo magnético variável \mathbf{B}(\mathbf{r}) sofre uma energia U = -\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}.
  • A força resultante sobre esse objeto é dada por \mathbf{F} = \nabla(\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}). Para um campo com gradiente principal na direção z, a componente z da força é aproximadamente
F_z \approx \mu_z\,\frac{\partial B_z}{\partial z},
onde \mu_z é a componente z do momento magnético da partícula.
  • Intuição: se \mu_z for positiva a partícula é desviada numa direção; se for negativa, na direção oposta; se \mu_z=0 não há desvio.
Explicação didática curta sobre momento magnético de elétrons e átomos:
  • Há duas contribuições possíveis ao momento magnético de um elétron ligado: a orbital (relacionada ao momento angular orbital \hat{L}) e a de spin (relacionada ao operador de spin \hat{S}).
  • Em termos de operadores (fórmula que resume as duas contribuições),
\hat{\boldsymbol{\mu}} = -\frac{e}{2m_e}\big(\hat{\mathbf{L}} + g\hat{\mathbf{S}}\big),
onde e é o módulo da carga do elétron, m_e sua massa, e g é o fator de Landé do elétron (para o spin do elétron livre g\approx 2). Essa fórmula significa: o momento magnético total é combinação do momento orbital e do spin, com o spin recebendo um fator g.

Passo 3

Aplicando isso ao caso do experimento (átomos de prata com elétron de valência em orbital s, \ell=0):
  • Para um elétron em orbital s temos \hat{\mathbf{L}}=0, logo a contribuição orbital para \hat{\boldsymbol{\mu}} é nula.
  • Resta a contribuição de spin, então
\hat{\boldsymbol{\mu}} = -\frac{e g}{2m_e}\,\hat{\mathbf{S}}.
  • A constante característica chamada magnetão de Bohr é
\mu_B \equiv \frac{e\hbar}{2m_e}.
  • A componente z do momento magnético associada ao spin é portanto
\hat{\mu}_z = -g\mu_B\,\frac{\hat{S}_z}{\hbar}.

Passo 4

Quantização do spin e valores possíveis para \mu_z:
  • Para um elétron, o spin é s=\tfrac{1}{2}. O operador \hat{S}_z tem autovalores \hbar m_s com m_s=\pm\tfrac{1}{2}.
  • Substituindo na expressão de \hat{\mu}_z obtemos os valores possíveis:
\mu_z = -g\mu_B m_s.
  • Usando g\approx 2 e m_s=\pm\tfrac{1}{2}
\mu_z = -2\mu_B\left(\pm\tfrac{1}{2}\right)=\mp\mu_B.
  • Ou seja: há dois valores discretos e opostos para \mu_z, de módulo \mu_B. Pela fórmula da força,
F_z = \mu_z\,\frac{\partial B_z}{\partial z},
essas duas possibilidades produzem duas forças opostas e de módulo igual, desviando metade do feixe para cima e metade para baixo, produzindo duas manchas separadas na placa detectora.

Passo 5

Por que isso é evidência do spin do elétron:
  • No experimento clássico (partículas com momentos magnéticos orientados aleatoriamente), esperaríamos uma distribuição contínua de desvios: cada orientação de \boldsymbol{\mu} daria uma deflexão diferente, resultando numa mancha alongada ou num borrão contínuo na placa, não em manchas discretas.
  • No caso dos átomos de prata, como o elétron de valência está num orbital s ( \ell=0), a contribuição orbital para \mu é zero. Assim, se as duas manchas observadas viessem de efeito orbital, isso seria contraditório.
  • A observação experimental de duas manchas discretas implica que existe uma grandeza intrínseca ao elétron que pode assumir apenas dois valores: isto é exatamente o que descrevemos como spin s=\tfrac{1}{2} com m_s=\pm\tfrac{1}{2}.
  • Portanto Stern–Gerlach mostrou experimentalmente a existência de um momento magnético intrínseco de duas valências — evidência direta do spin do elétron.

Passo 6

Respondendo diretamente ao hipotético: “Se o elétron não possuísse spin e estivesse em um estado s ( \ell=0), o que seria observado?”
  • Se o elétron verdadeiramente não tivesse spin (ou seja, não houvesse nenhum momento magnético intrínseco) e o átomo estivesse em um estado com \ell=0 (portanto \hat{\mathbf{L}}=0), então a expressão para o momento magnético total daria \boldsymbol{\mu}=0.
  • Com \mu_z=0 vale F_z=0 (no primeiro momento), então o feixe não seria dividido pelo gradiente do campo magnético. O detector veria essencialmente um único feixe não dividido — uma única mancha central (talvez com largura determinada por dispersão térmica e divergência do feixe), mas sem duas manchas separadas.
  • Em contraste, se as partículas tivessem momentos magnéticos de orientação aleatória (mas contínuos), o observado seria uma mancha alargada ou contínua, não duas manchas discretas. Portanto a observação real de duas manchas só é explicada por um grau de liberdade quântico quantizado com dois valores (spin 1/2).

Passo 7

Resumo pedagógico e uma motivação rápida para lembrar na prova:
  • Regra prática: Stern–Gerlach transforma componentes quantizadas de momento magnético em posições discretas na placa por causa do gradiente de campo. Dois spots = dois autovalores possíveis de \mu_z.
  • No caso experimental clássico com prata: orbital nulo ( \ell=0) → divisão só pode vir de spin → prova experimental do spin do elétron.
  • No caso hipotético sem spin e \ell=0: nenhuma divisão → apenas uma mancha central.

Resposta

Observação experimental: o feixe se divide em duas manchas discretas na placa, evidenciando um momento magnético intrínseco com dois valores (spin s=\tfrac{1}{2}, m_s=\pm\tfrac{1}{2}).
Se o elétron não possuísse spin e estivesse em estado s ( \ell=0): observaria-se uma única mancha central (sem divisão), pois \boldsymbol{\mu}=0 implicaria F_z=0.

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