Problema 3 Descreva como o experimento de Stern-Gerlach forneceu evidências experimentais para a existência do spin do elétron. Se o elétron não possuísse spin e estivesse em um estado
, o que seria observado na placa detectora após o feixe atravessar o campo magnético não uniforme?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Descrever como o experimento de Stern–Gerlach forneceu evidência experimental da existência do spin do elétron.
- Dizer o que seria observado na placa detectora se o elétron não possuísse spin e estivesse em um estado
( ).
Informações relevantes (do experimento clássico, que serão usadas na explicação):
- Um feixe de átomos neutros (no experimento original foram átomos de prata) atravessa um campo magnético não uniforme e incide numa placa detectora.
- No experimento real observou‑se que o feixe se divide em duas manchas bem separadas na placa, não em uma distribuição contínua.
- No átomo de prata que foi usado, o elétron de valência ocupa um orbital
(portanto ), o que implica que a contribuição orbital para o momento magnético é nula; assim qualquer momento magnético detectado vem de alguma outra origem.
Passo 2
Entendendo qualitativamente o que o aparelho faz — força magnética sobre um momento magnético:
- Um objeto com momento magnético
num campo magnético variável sofre uma energia . - A força resultante sobre esse objeto é dada por
. Para um campo com gradiente principal na direção , a componente da força é aproximadamente
onde
é a componente
do momento magnético da partícula.
- Intuição: se
for positiva a partícula é desviada numa direção; se for negativa, na direção oposta; se não há desvio.
Explicação didática curta sobre momento magnético de elétrons e átomos:
- Há duas contribuições possíveis ao momento magnético de um elétron ligado: a orbital (relacionada ao momento angular orbital
) e a de spin (relacionada ao operador de spin ). - Em termos de operadores (fórmula que resume as duas contribuições),
onde
é o módulo da carga do elétron,
sua massa, e
é o fator de Landé do elétron (para o spin do elétron livre
). Essa fórmula significa: o momento magnético total é combinação do momento orbital e do spin, com o spin recebendo um fator
.
Passo 3
Aplicando isso ao caso do experimento (átomos de prata com elétron de valência em orbital
,
):
- Para um elétron em orbital
temos , logo a contribuição orbital para é nula. - Resta a contribuição de spin, então
- A constante característica chamada magnetão de Bohr é
- A componente
do momento magnético associada ao spin é portanto
Passo 4
Quantização do spin e valores possíveis para
:
- Para um elétron, o spin é
. O operador tem autovalores com . - Substituindo na expressão de
obtemos os valores possíveis:
- Usando
e dá
- Ou seja: há dois valores discretos e opostos para
, de módulo . Pela fórmula da força,
essas duas possibilidades produzem duas forças opostas e de módulo igual, desviando metade do feixe para cima e metade para baixo, produzindo duas manchas separadas na placa detectora.
Passo 5
Por que isso é evidência do spin do elétron:
- No experimento clássico (partículas com momentos magnéticos orientados aleatoriamente), esperaríamos uma distribuição contínua de desvios: cada orientação de
daria uma deflexão diferente, resultando numa mancha alongada ou num borrão contínuo na placa, não em manchas discretas. - No caso dos átomos de prata, como o elétron de valência está num orbital
( ), a contribuição orbital para é zero. Assim, se as duas manchas observadas viessem de efeito orbital, isso seria contraditório. - A observação experimental de duas manchas discretas implica que existe uma grandeza intrínseca ao elétron que pode assumir apenas dois valores: isto é exatamente o que descrevemos como spin
com . - Portanto Stern–Gerlach mostrou experimentalmente a existência de um momento magnético intrínseco de duas valências — evidência direta do spin do elétron.
Passo 6
Respondendo diretamente ao hipotético: “Se o elétron não possuísse spin e estivesse em um estado
(
), o que seria observado?”
- Se o elétron verdadeiramente não tivesse spin (ou seja, não houvesse nenhum momento magnético intrínseco) e o átomo estivesse em um estado com
(portanto ), então a expressão para o momento magnético total daria . - Com
vale (no primeiro momento), então o feixe não seria dividido pelo gradiente do campo magnético. O detector veria essencialmente um único feixe não dividido — uma única mancha central (talvez com largura determinada por dispersão térmica e divergência do feixe), mas sem duas manchas separadas. - Em contraste, se as partículas tivessem momentos magnéticos de orientação aleatória (mas contínuos), o observado seria uma mancha alargada ou contínua, não duas manchas discretas. Portanto a observação real de duas manchas só é explicada por um grau de liberdade quântico quantizado com dois valores (spin
).
Passo 7
Resumo pedagógico e uma motivação rápida para lembrar na prova:
- Regra prática: Stern–Gerlach transforma componentes quantizadas de momento magnético em posições discretas na placa por causa do gradiente de campo. Dois spots = dois autovalores possíveis de
. - No caso experimental clássico com prata: orbital nulo (
) → divisão só pode vir de spin → prova experimental do spin do elétron. - No caso hipotético sem spin e
: nenhuma divisão → apenas uma mancha central.
Resposta
Observação experimental: o feixe se divide em duas manchas discretas na placa, evidenciando um momento magnético intrínseco com dois valores (spin
,
).
Se o elétron não possuísse spin e estivesse em estado (
): observaria-se uma única mancha central (sem divisão), pois
implicaria
.
Se o elétron não possuísse spin e estivesse em estado