Problema 8 Dada a EDO linear homogênea
(a) Verifique que a função
satisfaz a EDO em
.
(b) Utilize o princípio da superposição e exiba pelos menos duas soluções diferentes das duas soluções dadas.
(b) Utilize o princípio da superposição e exiba pelos menos duas soluções diferentes das duas soluções dadas.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos:
- A equação diferencial ordinária (EDO) dada é
definida em
.
- (a) Pede-se verificar se a função
satisfaz essa EDO em . - (b) Pede-se usar o princípio da superposição e exibir pelo menos duas soluções diferentes das soluções fornecidas (ou seja, fornecer pelo menos duas soluções da EDO que não sejam idênticas entre si nem redundantes).
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A EDO é linear e homogênea (coeficientes dependem de
). - O domínio considerado é
(importante porque usaremos e divisões por ). - Foi apresentada explicitamente uma função candidata
.
Passo 2
Verificação direta: calculemos as derivadas de
.
Explicação do que faremos:
- Para verificar se uma função é solução, calculamos
e e substituímos na EDO. Se o resultado for (idêntico em no domínio), então é solução.
Cálculo das derivadas:
Derivando uma vez:
Derivando de novo:
Passo 3
Substituição das derivadas na EDO e simplificação.
Substituímos
,
e
em
Fazendo a substituição:
Agora simplificamos termo a termo:
Somando os coeficientes:
Passo 4
Conclusão da verificação (parte (a)).
Como a substituição deu identicamente zero para todo
, concluímos que
satisfaz a EDO em
. Esta é a confirmação pedida na parte (a).
Passo 5
Sobre o método para encontrar outras soluções: observações e estratégia.
Explicação didática:
- A EDO tem a forma típica de uma equação de Euler–Cauchy (os coeficientes são potências de
: ). Para equações desse tipo costuma-se tentar uma solução do tipo (essa é uma técnica padrão para perceber as soluções base). - Além disso, por ser uma EDO linear homogênea, o princípio da superposição vale: qualquer combinação linear de soluções é também solução.
- Se a substituição
gera uma equação característica com raiz dupla , sabemos (ou iremos deduzir) que a segunda solução independente tem a forma . Vou mostrar isso de forma explícita e didática.
Passo 6
Tentativa com a forma
e obtenção da equação característica.
Explicação do que significa cada símbolo:
-
é um número (possivelmente complexo) que tentamos determinar; é uma função monômio que depende de . - Calculamos
e em termos de .
Cálculos:
Substituindo na EDO:
Simplificando os fatores
(pois
, etc.), obtemos a equação algébrica em
:
Agora simplificamos:
Isso é um quadrático que pode ser fatorado:
Portanto a raiz característica é
com multiplicidade
(raiz dupla).
Passo 7
Interpretação do resultado e necessidade de uma segunda solução independente.
Explicação:
- Para uma EDO linear homogênea de segunda ordem esperamos um espaço de soluções de dimensão
. Encontramos uma raiz dupla , o que nos dá uma solução do tipo (que já conhecíamos). - Quando a raiz é simples, duas soluções independentes seriam
e . No caso de raiz dupla , existe uma segunda solução independente que, para equações de Euler–Cauchy, tem a forma . Vou derivar essa segunda solução explicitamente (redução de ordem), para você entender por que aparece o .
Passo 8
Derivação da segunda solução por redução de ordem (método passo a passo).
Ideia do método:
- Sabendo uma solução particular
, procuramos uma segunda solução da forma
onde
é uma função a determinar. A redução de ordem transforma a EDO de segunda ordem em uma equação de ordem menor para
.
Cálculo das derivadas (explicando cada termo):
Derivando:
Derivando novamente (usando regra do produto):
(Notação:
é
e
é
.)
Agora substituímos em
:
Multiplicando:
Agora somamos os termos semelhantes em
:
Restam os termos em
e
:
Fatorando
(e lembrando que
no domínio, então
):
Portanto a equação reduzida é
Passo 9
Resolver a equação reduzida e obter
.
Observação:
- A equação
pode ser reescrita como derivada de , pois
Então a equação é
Integramos uma vez:
onde
é constante de integração. Dividindo por
(novamente
):
Integramos de novo:
onde
é outra constante de integração.
Passo 10
Construção das soluções para
e conclusão sobre a base de soluções.
Como
, substituímos
:
Isto mostra que as funções
são soluções independentes e que a solução geral da EDO é
ou escrevendo constantes na ordem usual,
Explicação sobre independência: uma vez que temos uma combinação geral com duas constantes livres, as duas funções formam uma base do espaço de soluções.
Passo 11
Uso do princípio da superposição para exibir pelo menos duas soluções diferentes.
Princípio (explicado de maneira simples):
- Para equações lineares homogêneas, se
e são soluções, então para quaisquer constantes e a combinação também é solução.
Aplicação concreta:
- Já temos
(dada) e (obtida). Pelo princípio da superposição, qualquer combinação linear é solução. Exemplos de duas soluções distintas (diferentes entre si e diferentes da função dada ): -
(essa é a segunda solução independente que encontramos). -
(soma não-trivial de e ).
-
Ambas pertencem ao espaço solução e são de fato distintas entre si e de
. Podemos também citar outras, por exemplo
ou
, todas válidas.
Resposta
(a) Sim:
satisfaz a EDO em
(substituição dá
).
(b) Duas soluções (além de ) são
e
.
(b) Duas soluções (além de