Problema 9 Dada a EDO linear homogênea
x y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}=0 .
(a) Verifique se as funções y_{1}(x)=1, y_{2}(x)=x, y_{3}(x)=x^{3} satisfaz a EDO em (-\infty, \infty).
(b) Verifique se essas funções do item (a) são um sistema fundamental de soluções.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}=0
e pede duas verificações:
(a) Verificar se as funções \,y_{1}(x)=1,\;y_{2}(x)=x,\;y_{3}(x)=x^{3}\, satisfazem a EDO em (-\infty,\infty).
(b) Verificar se essas funções do item (a) são um sistema fundamental de soluções (isto é, se são linearmente independentes e formam uma base do espaço de soluções apropriado).
As informações relevantes que temos do enunciado:
  • A EDO é de ordem 3 e homogênea.
  • As três funções candidatas são polinomiais: constante, grau 1 e grau 3.
  • Devemos considerar o intervalo (-\infty,\infty) (note que o coeficiente x do termo de maior ordem sugere atenção em x=0).

Passo 2

Verificação direta: para checar se uma função y(x) é solução, calcule y'',y''' e substitua em x\,y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}; se der 0 para todo x do intervalo, é solução.
Começo com y_{1}(x)=1.
Calcule derivadas:
y_1'(x)=0,\qquad y_1''(x)=0,\qquad y_1'''(x)=0.
Substituindo na EDO:
x\,y_1'''-y_1''=x\cdot 0 - 0 = 0.
Portanto y_1 satisfaz a EDO para todo x\in(-\infty,\infty).

Passo 3

Agora y_{2}(x)=x.
Derivadas:
y_2'(x)=1,\qquad y_2''(x)=0,\qquad y_2'''(x)=0.
Substituindo na EDO:
x\,y_2'''-y_2''=x\cdot 0 - 0 = 0.
Logo y_2 também é solução para todo x\in(-\infty,\infty).

Passo 4

Agora y_{3}(x)=x^{3}.
Derivadas:
y_3'(x)=3x^{2},\qquad y_3''(x)=6x,\qquad y_3'''(x)=6.
Substituindo na EDO:
x\,y_3'''-y_3''=x\cdot 6 - 6x = 6x-6x = 0.
Portanto y_3 também satisfaz a EDO para todo x\in(-\infty,\infty).
Observação didática rápida: mesmo em x=0 a substituição é válida porque todas as derivadas são funções bem definidas e o cálculo dá 0. Assim, do ponto de vista de verificar a igualdade dada, cada função satisfaz a equação em todo (-\infty,\infty).

Passo 5

Agora precisamos decidir se \{y_1,y_2,y_3\} é um sistema fundamental. Primeiro explico o critério prático que vou usar: para três funções, uma forma conveniente de testar independência linear é calcular o Wronskiano
W(y_1,y_2,y_3)(x)= \begin{vmatrix} y_1 & y_2 & y_3\\[4pt] y_1' & y_2' & y_3'\\[4pt] y_1'' & y_2'' & y_3'' \end{vmatrix}.
Regra prática: se o Wronskiano for não nulo em algum ponto do intervalo considerado (ou melhor, se for não nulo em todo o intervalo), as funções são linearmente independentes nesse intervalo. Se o Wronskiano for identicamente zero no intervalo, as funções são dependentes. Se o Wronskiano se anula em pontos isolados, há um cuidado: o teste padrão garante independência quando o Wronskiano é não nulo em algum ponto; se for zero em pontos isolados, ainda pode haver independência global, mas precisamos analisar com cuidado.]

Passo 6

Calculemos o Wronskiano das três funções. Montamos a matriz usando derivadas que já calculamos:
\begin{pmatrix} 1 & x & x^{3}\\[4pt] 0 & 1 & 3x^{2}\\[4pt] 0 & 0 & 6x \end{pmatrix}.
O determinante (pela forma triangular superior) é o produto dos elementos da diagonal:
W(x)=1\cdot 1\cdot 6x = 6x.
Conclusão imediata: W(x)=6x.
Interpretando isso:
  • Para x\neq 0, W(x)\neq 0. Assim, nas duas sub-intervalos (-\infty,0) e (0,\infty) o Wronskiano é não nulo, logo as três funções são linearmente independentes em cada um desses intervalos. Portanto formam um sistema fundamental de soluções em (-\infty,0) e também em (0,\infty).
  • Em x=0 temos W(0)=0. Isso impede usar a versão direta do teorema que garante independência em todo (-\infty,\infty) baseada no Wronskiano (pois o coeficiente 1/x ao escrever a EDO na forma padrão y'''-(1/x)y''=0 não é contínuo em 0; x=0 é um ponto singular do formato padrão).]

Passo 7

Para clarificar de vez qual é o espaço de soluções e por que as funções formam base (onde for adequado), derivei a solução geral da EDO (método de redução de ordem simples): defina u(x)=y''(x). A equação fica
x\,u'(x)-u(x)=0.
Isto é uma equação linear de 1ª ordem para u. Reescrevendo,
u'(x)-\frac{1}{x}\,u(x)=0.
Separando variáveis (ou reconhecendo fator integrante), obtemos
\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{1}{x}\quad\Rightarrow\quad \ln|u(x)|=\ln|x|+C\quad\Rightarrow\quad u(x)=C_1 x.
Portanto y''(x)=C_1 x. Integrando duas vezes:
y'(x)=\frac{C_1}{2}x^{2}+C_2,\qquad y(x)=\frac{C_1}{6}x^{3}+C_2 x + C_3.
Renomeando constantes ( A=\tfrac{C_1}{6},\,B=C_2,\,C=C_3), a solução geral (em qualquer intervalo que não cruza problemas de continuidade na integração) é
y(x)=A x^{3}+B x + C,
ou seja, todo elemento do espaço de soluções é combinação linear das funções x^{3},x,1.
Isto confirma que o espaço de soluções tem dimensão 3 e é gerado por \{1,x,x^{3}\} nas regiões onde as operações de integração e as condições de continuidade dão coerência — em particular em (-\infty,0) e (0,\infty). Sobre o ponto x=0 há a sutileza do ponto singular: a teoria padrão de existência e unicidade em forma normal usa divisões por x, então a garantia clássica de que um conjunto de três soluções forma base em todo (-\infty,\infty) não se aplica diretamente; contudo, como polinômios, essas funções são linearmente independentes como polinômios (a combinação a\cdot1+b\cdot x+c\cdot x^{3}\equiv 0 força a=b=c=0), mas a afirmação “sistema fundamental de soluções da EDO em (-\infty,\infty)” costuma ser entendida no contexto do intervalo onde a equação pode ser posta na forma padrão com coeficientes contínuos — aí x=0 é singular e a conclusão é feita separadamente em cada lado.

Resposta

(a) Sim: y_{1}(x)=1,\;y_{2}(x)=x,\;y_{3}(x)=x^{3} satisfazem \;x\,y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}=0 para todo x\in(-\infty,\infty).
(b) O Wronskiano é W(x)=6x. Portanto as funções formam um sistema fundamental de soluções em (-\infty,0) e em (0,\infty) (em cada um desses intervalos são linearmente independentes e geram todas as soluções). Em (-\infty,\infty) há um ponto singular em x=0 e o Wronskiano se anula em 0, de modo que a aplicação direta do teorema padrão falha — usualmente dizemos que não se pode afirmar que são um sistema fundamental em todo (-\infty,\infty) usando o teorema padrão (mas elas geram a forma geral y=Ax^{3}+Bx+C onde for válida).

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