x^{3} y^{\prime \prime \prime}-x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=0 .
(a) Verifique se as funções y_{1}(x)=x, y_{2}(x)=x^{2}, y_{3}(x)=1 / x satisfaz a EDO em (0, \infty).
(b) Verifique se essas funções do item (a) são um sistema fundamental de soluções.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea
Pede-se:
(a) verificar se cada uma das funções y_{1},y_{2},y_{3} satisfaz a EDO em (0,\infty);\n
(b) verificar se essas funções formam um sistema fundamental de soluções (no mesmo intervalo).
Passo 2
Primeiro vamos lembrar a regra prática que usarei para derivar potências de x: se y(x)=x^{n} então
Portanto y_{3}(x)=\dfrac{1}{x} também NÃO satisfaz a EDO em (0,\infty).
Passo 6
Resumo da parte (a): somente y_{1}(x)=x satisfaz a equação; y_{2} e y_{3} não satisfazem.
Agora, sobre ser um sistema fundamental de soluções: por definição, para uma EDO linear homogênea de ordem n um “sistema fundamental” (ou base de soluções) em um intervalo aberto é um conjunto de n funções que (i) sejam soluções da EDO no intervalo e (ii) sejam linearmente independentes nesse intervalo. Se alguma das funções não for solução, o conjunto não pode ser sistema fundamental.
Passo 7
Vou mostrar também como testar linear independência usando o Wronskiano, pois é o procedimento padrão (mas lembrar: mesmo que o Wronskiano seja não nulo, se as funções não são soluções, isso não as torna um sistema fundamental).
O Wronskiano de y_{1},y_{2},y_{3} é a determinante
Observação: W(x)=\dfrac{6}{x} é diferente de zero em todo (0,\infty), portanto as três funções são linearmente independentes em (0,\infty). Mas atenção: linear independência sozinha não basta — é preciso que todas as funções sejam soluções da EDO.
Passo 8
Conclusão da parte (b): como y_{2} e y_{3} NÃO satisfazem a EDO, o conjunto \{y_{1},y_{2},y_{3}\} não é um sistema fundamental de soluções da equação diferencial no intervalo (0,\infty). (Mesmo que sejam linearmente independentes, falha a condição essencial de serem todas soluções.)
Resposta
(a) Somente y_{1}(x)=x satisfaz a EDO em (0,\infty); y_{2}(x)=x^{2} e y_{3}(x)=1/x não satisfazem a EDO.\n
(b) Não; não formam um sistema fundamental de soluções em (0,\infty), pois y_{2} e y_{3} não são soluções (embora as três funções sejam linearmente independentes, com Wronskiano W(x)=6/x\neq 0 em (0,\infty)).