Problema 10 Dada a EDO linear homogênea
x^{3} y^{\prime \prime \prime}-x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=0 .
(a) Verifique se as funções y_{1}(x)=x, y_{2}(x)=x^{2}, y_{3}(x)=1 / x satisfaz a EDO em (0, \infty).
(b) Verifique se essas funções do item (a) são um sistema fundamental de soluções.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea
x^{3}y^{\prime\prime\prime}-x^{2}y^{\prime\prime}-2x y^{\prime}+2y=0
no intervalo (0,\infty) e as funções
y_{1}(x)=x,\qquad y_{2}(x)=x^{2},\qquad y_{3}(x)=\frac{1}{x}.
Pede-se:
(a) verificar se cada uma das funções y_{1},y_{2},y_{3} satisfaz a EDO em (0,\infty);\n
(b) verificar se essas funções formam um sistema fundamental de soluções (no mesmo intervalo).

Passo 2

Primeiro vamos lembrar a regra prática que usarei para derivar potências de x: se y(x)=x^{n} então
y'(x)=n x^{n-1},\qquad y''(x)=n(n-1)x^{n-2},\qquad y'''(x)=n(n-1)(n-2)x^{n-3}.
Também podemos aplicar essa regra para expoentes negativos, por exemplo x^{-1}. Vou usar isso para calcular derivadas e substituir na EDO.

Passo 3

Verificação para y_{1}(x)=x.
Calcule as derivadas usando a regra acima (aqui n=1):
y_{1}'(x)=1,\qquad y_{1}''(x)=0,\qquad y_{1}'''(x)=0.
Substituindo na EDO:
x^{3}\cdot 0 - x^{2}\cdot 0 -2x\cdot 1 + 2\cdot x = -2x + 2x = 0.
Conclusão: y_{1}(x)=x satisfaz a EDO em (0,\infty).

Passo 4

Verificação para y_{2}(x)=x^{2}.
Calcule as derivadas (aqui n=2):
y_{2}'(x)=2x,\qquad y_{2}''(x)=2,\qquad y_{2}'''(x)=0.
Substituindo na EDO:
x^{3}\cdot 0 - x^{2}\cdot 2 -2x\cdot(2x) + 2\cdot x^{2} = -2x^{2} -4x^{2} + 2x^{2} = (-2-4+2)x^{2} = -4x^{2}.
Em (0,\infty) isso não é zero (a menos que x=0, que não pertence ao intervalo). Portanto y_{2}(x)=x^{2} NÃO satisfaz a EDO em (0,\infty).

Passo 5

Verificação para y_{3}(x)=\dfrac{1}{x}.
Escrevo y_{3}(x)=x^{-1} e aplico a regra:
y_{3}'(x)=-x^{-2},\qquad y_{3}''(x)=2x^{-3},\qquad y_{3}'''(x)=-6x^{-4}.
Substituindo na EDO:
x^{3}\cdot(-6x^{-4}) - x^{2}\cdot(2x^{-3}) -2x\cdot(-x^{-2}) + 2\cdot x^{-1}.
Simplificando termo a termo:
x^{3}(-6x^{-4}) = -6x^{-1},\quad -x^{2}(2x^{-3}) = -2x^{-1},\quad -2x(-x^{-2})=+2x^{-1},\quad 2x^{-1}=2x^{-1}.
Somando:
(-6 -2 +2 +2)x^{-1} = (-4)x^{-1} = -\frac{4}{x}\neq 0\\ \text{em }(0,\infty).
Portanto y_{3}(x)=\dfrac{1}{x} também NÃO satisfaz a EDO em (0,\infty).

Passo 6

Resumo da parte (a): somente y_{1}(x)=x satisfaz a equação; y_{2} e y_{3} não satisfazem.
Agora, sobre ser um sistema fundamental de soluções: por definição, para uma EDO linear homogênea de ordem n um “sistema fundamental” (ou base de soluções) em um intervalo aberto é um conjunto de n funções que (i) sejam soluções da EDO no intervalo e (ii) sejam linearmente independentes nesse intervalo. Se alguma das funções não for solução, o conjunto não pode ser sistema fundamental.

Passo 7

Vou mostrar também como testar linear independência usando o Wronskiano, pois é o procedimento padrão (mas lembrar: mesmo que o Wronskiano seja não nulo, se as funções não são soluções, isso não as torna um sistema fundamental).
O Wronskiano de y_{1},y_{2},y_{3} é a determinante
W(y_{1},y_{2},y_{3})(x)= \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} & y_{3} \\\ y_{1}' & y_{2}' & y_{3}' \\\ y_{1}'' & y_{2}'' & y_{3}'' \end{vmatrix}.
Já temos as derivadas:
y_{1}=x,\\ y_{1}'=1,\\ y_{1}''=0; \quad y_{2}=x^{2},\\ y_{2}'=2x,\\ y_{2}''=2; \quad y_{3}=x^{-1},\\ y_{3}'=-x^{-2},\\ y_{3}''=2x^{-3}.
Então
W(x)= \begin{vmatrix} x & x^{2} & x^{-1} \\\\ 1 & 2x & -x^{-2} \\\\ 0 & 2 & 2x^{-3} \end{vmatrix}.
Calculo a determinante (expansão pela primeira coluna é simples):
W(x)= x\cdot \begin{vmatrix} 2x & -x^{-2} \\\\ 2 & 2x^{-3} \end{vmatrix} -1\cdot \begin{vmatrix} x^{2} & x^{-1} \\\\ 2 & 2x^{-3} \end{vmatrix} +0\cdot(\cdots).
Primeiro menor:
\begin{vmatrix} 2x & -x^{-2} \\\\ 2 & 2x^{-3} \end{vmatrix} =2x\cdot 2x^{-3} - (-x^{-2})\cdot 2 =4x^{-2} + 2x^{-2} =6x^{-2}.
Segundo menor:
\begin{vmatrix} x^{2} & x^{-1} \\\\ 2 & 2x^{-3} \end{vmatrix} = x^{2}\cdot 2x^{-3} - x^{-1}\cdot 2 = 2x^{-1} - 2x^{-1} = 0.
Logo
W(x)= x\cdot 6x^{-2} - 1\cdot 0 = 6x^{-1} = \frac{6}{x}.
Observação: W(x)=\dfrac{6}{x} é diferente de zero em todo (0,\infty), portanto as três funções são linearmente independentes em (0,\infty). Mas atenção: linear independência sozinha não basta — é preciso que todas as funções sejam soluções da EDO.

Passo 8

Conclusão da parte (b): como y_{2} e y_{3} NÃO satisfazem a EDO, o conjunto \{y_{1},y_{2},y_{3}\} não é um sistema fundamental de soluções da equação diferencial no intervalo (0,\infty). (Mesmo que sejam linearmente independentes, falha a condição essencial de serem todas soluções.)

Resposta

(a) Somente y_{1}(x)=x satisfaz a EDO em (0,\infty); y_{2}(x)=x^{2} e y_{3}(x)=1/x não satisfazem a EDO.\n
(b) Não; não formam um sistema fundamental de soluções em (0,\infty), pois y_{2} e y_{3} não são soluções (embora as três funções sejam linearmente independentes, com Wronskiano W(x)=6/x\neq 0 em (0,\infty)).

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