Problema 6 Dada a EDO linear Homogênea
x^{3} y^{\prime \prime \prime}-2 x y^{\prime}+4 y=0 .
(a) Verifique se as funções y_{1}(x)=x^{2} e y_{2}(x)=x^{2} \ln x satisfazem essa EDO dada em (0, \infty).
(b) Utilize o princípio da superposição e exiba pelos menos duas soluções diferentes das duas soluções dadas.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea
x^{3}y^{\prime\prime\prime}-2x y^{\prime}+4y=0
definida em (0,\infty) e pede duas coisas:
(a) Verificar se as funções y_{1}(x)=x^{2} e y_{2}(x)=x^{2}\ln x satisfazem essa EDO em (0,\infty).
(b) Usar o princípio da superposição e exibir pelo menos duas soluções diferentes das duas dadas.
Informações relevantes do enunciado:
  • A EDO é homogênea e linear (coeficientes dependem de x).
  • O domínio indicado é (0,\infty), onde \ln x está bem definido.
  • As funções a testar são y_{1}(x)=x^{2} e y_{2}(x)=x^{2}\ln x.

Passo 2

Verificação de y_{1}(x)=x^{2}.
Primeiro calculemos as derivadas usando a regra da potência: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}.
y_{1}(x)=x^{2}
y_{1}^{\prime}(x)=2x
y_{1}^{\prime\prime}(x)=2
y_{1}^{\prime\prime\prime}(x)=0
Agora substituímos na EDO. A EDO é o operador linear
L[y]=x^{3}y^{\prime\prime\prime}-2x y^{\prime}+4y.
Substituindo y_{1}:
L[y_{1}]=x^{3}\cdot 0 -2x\cdot(2x)+4\cdot x^{2}.
Calculemos termo a termo:
-2x\cdot(2x)=-4x^{2},
4\cdot x^{2}=4x^{2}.
Somando:
L[y_{1}]=-4x^{2}+4x^{2}=0.
Portanto y_{1}(x)=x^{2} satisfaz a EDO em (0,\infty).

Passo 3

Verificação de y_{2}(x)=x^{2}\ln x.
Para derivar y_{2} usamos a regra do produto: se u(x)=x^{2} e v(x)=\ln x, então (uv)'=u'v+uv'. Também usamos que (\ln x)'=1/x.
Calculemos as derivadas passo a passo.
y_{2}(x)=x^{2}\ln x
Derivada primeira:
y_{2}^{\prime}(x)= (x^{2})' \ln x + x^{2}(\ln x)' = 2x\ln x + x^{2}\cdot\frac{1}{x}=2x\ln x + x.
Derivada segunda: derivamos 2x\ln x + x. Aplicando produto em 2x\ln x:
(2x\ln x)' = 2\big((x\ln x)'\big)=2(\ln x + 1)=2\ln x + 2.
E (x)'=1. Logo
y_{2}^{\prime\prime}(x)=2\ln x + 2 + 1 = 2\ln x + 3.
Derivada terceira:
y_{2}^{\prime\prime\prime}(x)=\frac{d}{dx}\big(2\ln x + 3\big)=2\cdot\frac{1}{x}=\frac{2}{x}.
Agora substituímos na EDO L[y]=x^{3}y^{\prime\prime\prime}-2x y^{\prime}+4y:
L[y_{2}] = x^{3}\cdot\frac{2}{x} -2x\cdot\big(2x\ln x + x\big) + 4\cdot(x^{2}\ln x).
Simplificando termo a termo:
x^{3}\cdot\frac{2}{x}=2x^{2},
-2x\cdot\big(2x\ln x + x\big) = -4x^{2}\ln x -2x^{2},
4\cdot(x^{2}\ln x)=4x^{2}\ln x.
Somando tudo:
L[y_{2}] = 2x^{2} + (-4x^{2}\ln x -2x^{2}) + 4x^{2}\ln x.
Agrupando termos semelhantes:
2x^{2}-2x^{2}=0,\qquad -4x^{2}\ln x +4x^{2}\ln x=0.
Logo
L[y_{2}]=0.
Portanto y_{2}(x)=x^{2}\ln x também satisfaz a EDO em (0,\infty).

Passo 4

Princípio da superposição (explicação e aplicação).
Quando temos uma equação diferencial linear homogênea escrita como L[y]=0, onde L é um operador linear (soma de derivadas multiplicadas por funções de x), vale que se y_{a} e y_{b} são soluções então qualquer combinação linear constante
y(x)=C_{1}y_{a}(x)+C_{2}y_{b}(x)
é também solução. O motivo é a linearidade: para constantes C_{1},C_{2},
L[C_{1}y_{a}+C_{2}y_{b}]=C_{1}L[y_{a}]+C_{2}L[y_{b}]=C_{1}\cdot 0 + C_{2}\cdot 0 = 0.
No nosso caso L é x^{3}\,\cdot\,^{\prime\prime\prime}-2x\,\cdot\,^{\prime}+4\,\cdot, que é linear, e já verificamos L[y_{1}]=0 e L[y_{2}]=0. Portanto qualquer combinação linear
y(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{2}\ln x = x^{2}\big(C_{1}+C_{2}\ln x\big)
é solução em (0,\infty).

Passo 5

Exemplos explícitos de pelo menos duas soluções diferentes das dadas (usando superposição).
Escolhemos constantes diferentes para obter funções diferentes de y_{1} e y_{2}.
Exemplo 1:
y_{3}(x)=y_{1}(x)+y_{2}(x)=x^{2}+x^{2}\ln x = x^{2}\big(1+\ln x\big).
Exemplo 2:
y_{4}(x)=2y_{1}(x)+3y_{2}(x)=2x^{2}+3x^{2}\ln x = x^{2}\big(2+3\ln x\big).
Ambas são soluções porque são combinações lineares das soluções y_{1} e y_{2}. Note que y_{3} e y_{4} são diferentes entre si e diferentes de y_{1} e y_{2}.

Resposta

(a) Sim. y_{1}(x)=x^{2} e y_{2}(x)=x^{2}\ln x satisfazem a EDO em (0,\infty).
(b) Duas soluções diferentes obtidas por superposição são y_{3}(x)=x^{2}\big(1+\ln x\big) e y_{4}(x)=x^{2}\big(2+3\ln x\big).

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