Problema 6 Dada a EDO linear Homogênea
(a) Verifique se as funções
e
satisfazem essa EDO dada em
.
(b) Utilize o princípio da superposição e exiba pelos menos duas soluções diferentes das duas soluções dadas.
(b) Utilize o princípio da superposição e exiba pelos menos duas soluções diferentes das duas soluções dadas.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea
definida em
e pede duas coisas:
(a) Verificar se as funções
e
satisfazem essa EDO em
.
(b) Usar o princípio da superposição e exibir pelo menos duas soluções diferentes das duas dadas.
Informações relevantes do enunciado:
- A EDO é homogênea e linear (coeficientes dependem de
). - O domínio indicado é
, onde está bem definido. - As funções a testar são
e .
Passo 2
Verificação de
.
Primeiro calculemos as derivadas usando a regra da potência: a derivada de
é
.
Agora substituímos na EDO. A EDO é o operador linear
Substituindo
:
Calculemos termo a termo:
Somando:
Portanto
satisfaz a EDO em
.
Passo 3
Verificação de
.
Para derivar
usamos a regra do produto: se
e
, então
. Também usamos que
.
Calculemos as derivadas passo a passo.
Derivada primeira:
Derivada segunda: derivamos
. Aplicando produto em
:
E
. Logo
Derivada terceira:
Agora substituímos na EDO
:
Simplificando termo a termo:
Somando tudo:
Agrupando termos semelhantes:
Logo
Portanto
também satisfaz a EDO em
.
Passo 4
Princípio da superposição (explicação e aplicação).
Quando temos uma equação diferencial linear homogênea escrita como
, onde
é um operador linear (soma de derivadas multiplicadas por funções de
), vale que se
e
são soluções então qualquer combinação linear constante
é também solução. O motivo é a linearidade: para constantes
,
No nosso caso
é
, que é linear, e já verificamos
e
. Portanto qualquer combinação linear
é solução em
.
Passo 5
Exemplos explícitos de pelo menos duas soluções diferentes das dadas (usando superposição).
Escolhemos constantes diferentes para obter funções diferentes de
e
.
Exemplo 1:
Exemplo 2:
Ambas são soluções porque são combinações lineares das soluções
e
. Note que
e
são diferentes entre si e diferentes de
e
.
Resposta
(a) Sim.
e
satisfazem a EDO em
.
(b) Duas soluções diferentes obtidas por superposição são
e
.