Problema 4 Determine a coordenada z do centro de massa do sólido \Omega que está acima da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=6 e abaixo do parabolóide z=4-x^{2}-y^{2}. Suponha densidade homogênea igual a 1.
Passo 1
O enunciado pede a coordenada z do centro de massa do sólido \Omega que está acima da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=6 e abaixo do parabolóide z=4-x^{2}-y^{2}. A densidade é homogênea e igual a 1.\n
Informações relevantes que temos:
Superfícies: esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=6 e parabolóide z=4-x^{2}-y^{2}.
Densidade \rho=1 (constante).
Queremos a coordenada \bar z do centro de massa, ou seja \bar z=\dfrac{1}{V}\iiint_{\Omega} z\,dV, onde V=\iiint_{\Omega} dV é o volume do sólido.
Passo 2
Por simetria em torno do eixo z (a região é simétrica em \theta), as coordenadas \bar x e \bar y do centro de massa são nulas. Logo só precisamos calcular
\bar z=\frac{1}{V}\iiint_{\Omega} z\,dV,
onde V=\iiint_{\Omega} dV. Vou calcular primeiro V e depois o momento M_z=\iiint_{\Omega} z\,dV.
Passo 3
Usamos coordenadas cilíndricas \;(x,y,z)=(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\; com dV=r\,dz\,dr\,d\theta. Precisamos obter os limites de integração. As interseções entre esfera e parabolóide ocorrem quando
r^{2}+z^{2}=6\quad\text{e}\quad z=4-r^{2}.
Substituindo z na equação da esfera:
r^{2}+(4-r^{2})^{2}=6.
Desenvolvendo e simplificando, defina u=r^{2}. Obtemos
u+(4-u)^{2}=6 \Rightarrow u + 16 -8u + u^{2}=6 \Rightarrow u^{2}-7u+10=0.
As soluções são u=2 e u=5, isto é r^{2}=2 ou r^{2}=5. Para decidir o trecho válido note que queremos pontos onde o parabolóide esteja acima da esfera (ou seja 4-r^{2}\ge +\sqrt{6-r^{2}}). Isso acontece para r^{2}\le 2. Portanto a região \Omega corresponde a
que fica entre a parte superior da esfera (cerca de 2{,}449) e o ponto mais alto do parabolóide (4), o que faz sentido físico.
Passo 7
Resumo do raciocínio: determinamos a região válida pelo encontro das superfícies, passamos para coordenadas cilíndricas, calculamos o volume e o momento em z com a substituição u=r^{2} para simplificar, e dividimos momento por volume para obter \bar z. Seguiu-se passo a passo e sem pular integrais nem substituições — você consegue fazer isso na prova também, só repetir a sequência: limites → mudar para cilíndricas → integrar em z → trocar r\,dr por du/2.