Problema 4 Determine a coordenada z do centro de massa do sólido \Omega que está acima da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=6 e abaixo do parabolóide z=4-x^{2}-y^{2}. Suponha densidade homogênea igual a 1.

Passo 1

O enunciado pede a coordenada z do centro de massa do sólido \Omega que está acima da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=6 e abaixo do parabolóide z=4-x^{2}-y^{2}. A densidade é homogênea e igual a 1.\n
Informações relevantes que temos:
  • Superfícies: esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=6 e parabolóide z=4-x^{2}-y^{2}.
  • Densidade \rho=1 (constante).
  • Queremos a coordenada \bar z do centro de massa, ou seja \bar z=\dfrac{1}{V}\iiint_{\Omega} z\,dV, onde V=\iiint_{\Omega} dV é o volume do sólido.

Passo 2

Por simetria em torno do eixo z (a região é simétrica em \theta), as coordenadas \bar x e \bar y do centro de massa são nulas. Logo só precisamos calcular
\bar z=\frac{1}{V}\iiint_{\Omega} z\,dV,
onde V=\iiint_{\Omega} dV. Vou calcular primeiro V e depois o momento M_z=\iiint_{\Omega} z\,dV.

Passo 3

Usamos coordenadas cilíndricas \;(x,y,z)=(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\; com dV=r\,dz\,dr\,d\theta. Precisamos obter os limites de integração. As interseções entre esfera e parabolóide ocorrem quando
r^{2}+z^{2}=6\quad\text{e}\quad z=4-r^{2}.
Substituindo z na equação da esfera:
r^{2}+(4-r^{2})^{2}=6.
Desenvolvendo e simplificando, defina u=r^{2}. Obtemos
u+(4-u)^{2}=6 \Rightarrow u + 16 -8u + u^{2}=6 \Rightarrow u^{2}-7u+10=0.
As soluções são u=2 e u=5, isto é r^{2}=2 ou r^{2}=5. Para decidir o trecho válido note que queremos pontos onde o parabolóide esteja acima da esfera (ou seja 4-r^{2}\ge +\sqrt{6-r^{2}}). Isso acontece para r^{2}\le 2. Portanto a região \Omega corresponde a
0\le r\le \sqrt{2},\qquad 0\le\theta\le 2\pi,\qquad \sqrt{6-r^{2}}\le z\le 4-r^{2}.

Passo 4

Calcular o volume
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2}}\int_{\sqrt{6-r^{2}}}^{4-r^{2}} r\,dz\,dr\,d\theta.
Fazendo a integral em z primeiro:
V=2\pi\int_{0}^{\sqrt{2}} r\bigl(4-r^{2}-\sqrt{6-r^{2}}\bigr)\,dr.
Para integrar com mais facilidade, use a substituição u=r^{2}\Rightarrow du=2r\,dr (logo r\,dr=du/2) e os limites u\in[0,2]. Assim
V=2\pi\int_{0}^{2}\left(4-\!u-\sqrt{6-u}\right)\frac{du}{2} =2\pi\int_{0}^{2}\left(2-\frac{u}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{6-u}\right)du.
Agora integramos termo a termo. Primeiro:
\int_{0}^{2}2\,du=4,\qquad \int_{0}^{2}\frac{u}{2}\,du=1.
Para o termo com raiz:
\int_{0}^{2}\sqrt{6-u}\,du
faça t=6-u, então a integral vale
\int_{4}^{6}\sqrt{t}\,dt=\left.\frac{2}{3}t^{3/2}\right|_{4}^{6}=\frac{2}{3}\bigl(6^{3/2}-4^{3/2}\bigr) =4\sqrt{6}-\frac{16}{3}.
Multiplicando por \tfrac{1}{2} e juntando tudo:
\int_{0}^{2}\left(2-\frac{u}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{6-u}\right)du =4-1-\Bigl(2\sqrt{6}-\frac{8}{3}\Bigr) =\frac{17}{3}-2\sqrt{6}.
Portanto
V=2\pi\Bigl(\frac{17}{3}-2\sqrt{6}\Bigr)=\frac{34\pi}{3}-4\pi\sqrt{6}.

Passo 5

Calcular o momento em z:
M_z=\iiint_{\Omega} z\,dV =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2}}\int_{\sqrt{6-r^{2}}}^{4-r^{2}} z\,r\,dz\,dr\,d\theta.
Integrando em z primeiro:
M_z=2\pi\int_{0}^{\sqrt{2}} r\cdot\frac{1}{2}\Bigl[(4-r^{2})^{2}-(\sqrt{6-r^{2}})^{2}\Bigr]dr =\pi\int_{0}^{\sqrt{2}} r\Bigl[(4-r^{2})^{2}-(6-r^{2})\Bigr]dr.
Simplifique o integrando:
(4-r^{2})^{2}-(6-r^{2})=16-8r^{2}+r^{4}-6+r^{2}=10-7r^{2}+r^{4}.
Logo
M_z=\pi\int_{0}^{\sqrt{2}} r\bigl(10-7r^{2}+r^{4}\bigr)\,dr.
Use novamente u=r^{2}, com r\,dr=du/2 e u\in[0,2]:
M_z=\pi\int_{0}^{2}\frac{1}{2}\bigl(10-7u+u^{2}\bigr)\,du =\frac{\pi}{2}\left[10u-\frac{7u^{2}}{2}+\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{2}.
Calcule os termos:
10u\Big|_{0}^{2}=20,\qquad -\frac{7u^{2}}{2}\Big|_{0}^{2}=-14,\qquad \frac{u^{3}}{3}\Big|_{0}^{2}=\frac{8}{3}.
Somando: 20-14+\frac{8}{3}=\frac{26}{3}. Logo
M_z=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{26}{3}=\frac{13\pi}{3}.

Passo 6

Agora a coordenada z do centro de massa é
\bar z=\frac{M_z}{V} =\frac{\dfrac{13\pi}{3}}{\dfrac{34\pi}{3}-4\pi\sqrt{6}} =\frac{13}{34-12\sqrt{6}}.
Como checagem rápida, o valor numérico é
\bar z\approx \frac{13}{34-12\sqrt{6}}\approx 2{,}823,
que fica entre a parte superior da esfera (cerca de 2{,}449) e o ponto mais alto do parabolóide ( 4), o que faz sentido físico.

Passo 7

Resumo do raciocínio: determinamos a região válida pelo encontro das superfícies, passamos para coordenadas cilíndricas, calculamos o volume e o momento em z com a substituição u=r^{2} para simplificar, e dividimos momento por volume para obter \bar z. Seguiu-se passo a passo e sem pular integrais nem substituições — você consegue fazer isso na prova também, só repetir a sequência: limites → mudar para cilíndricas → integrar em z → trocar r\,dr por du/2.

Resposta

\displaystyle \bar z=\frac{13}{34-12\sqrt{6}}

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